Unidad II: Funciones

Unidad II: Funciones

1. Variable

   • En cálculo, álgebra y geometría analítica, suele hacerse la distinción entre variables independientes y variables dependientes. En una expresión matemática, por ejemplo una función , el símbolo "x" representa a la variable independiente, y el símbolo "y" representa a la variable dependiente.

2. Función

   • En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito )

3. Dominio

   • El dominio de una función está ligado a la definición de función El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma. (En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.)

4. Rango

   • El rango de una función es el conjunto de números que dependen de la sustitución (tabulación) de los valores que puede tomar “x”, es decir, del dominio. Este conjunto de números es llamado “rango” y está ubicado en eje “y” (abcisas). Se expresa de la siguiente forma: Ranf o Rf

5. función real de variable real y su representación gráfica

   • Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R. Una definición formal de una función valorada real sería “Una función f: X → Y se llama una función valorada real si asocia un único elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X, donde X e Y son subconjuntos del conjunto R (conjunto de todos los números reales)

6. FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

   • Función inyectiva
     • Una función f: X - Y es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y (codominio) de f. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
   • Función suprayactiva
     • Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada Y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es suprayectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. Una función f: X à Y es sobreyectiva si esta aplicado sobre todo el codominio, es decir , cuando a cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X"
   • Función biyectuva
     • Una función f: X à Y, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva(suprayectiva), es decir si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a acada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. Para que una función sea biyectiva se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

7. Funciones algebraicas

   • Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces
     • Polinominales
       • Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.
     • Racionales
       • Racional
         • Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales.
       • Irracional
         • La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

8. Funciones trascendentes

   • Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye la trigonométrica, la trigonomètrica inversa, exponencial y logarítmica, además comprende un buen número de otras funciones que nunca han recibido nombre.
     • Funciones trigonométricas
       • En el cálculo la covención es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la función f(x)= sin x, se supone que sinx significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x.
         • Función seno
           • Por y = sin x (o castellanizado y = sen x ) se entiende la función con valores de x comprendidos entre -°° y +°° , teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose en cuenta que si x es superior a 2(PIB) (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.
         • Función coseno
           • Por y = cos x se entiende la función con valores de x comprendidos entre -°° y +°° , teniendo como imágenes el coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior a 2(PIB) (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.
         • Función tangente
           • Por y = tg x (también denotado tan x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre -°° y +°° , teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos x = k PIB /2, para k entero (positivo o negativo).
         • Función cosecante
           • La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto
         • Función secante
           • La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente
         • Función cotangente
           • La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto
     • Funciones logaritmicas
       • Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = loga x, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial
     • Funciones exponenciales
       • Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax, donde la base a es una constante positiva. En ambos casos el dominio es (−∞,∞) y (0,∞) es el intervalo. La función f(x)=2x se denomina función exponencial porque la variable, x, es el exponente. No debe confundirse con la función potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base. En general, una función exponencial es una función de la forma f(x)=ax donde x es una constante positiva.

9. Funciones escalonadas

   • La función escalonada y = s(x) es una función definida a trozos o por partes, tal que en un intervalo finito [a,b] tiene un número finito de discontinuidades, a las cuales llamaremos x0 < x1 < x2 <…. xn. En cada intervalo abierto (xi , xi+1), y tiene un valor constante de valor si, con discontinuidades -saltos- en los puntos xi.

10. Operaciones con funciones

    • Las funciones juegan un importante papel en el estudio del cálculo diferencial; las operaciones fundamentales, como la adición, sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar una raíz o se puede hacer combinaciones con el fin de dominar plenamente los procesos del cálculo diferencial
      • Adición
        • Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g.
      • Multiplicación
        • Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por:
      • División
        • Dados dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llaman función cociente de f y g a la función definida por la función f/g está defenida en todos los puntos en los que la función g no se anula
      • Composición
        • Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x' para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función composición que se representa g(f(x)).

11. Función inversa

    • Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Las gráficas de una función f y su inversa f-1 son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.

12. Función implicita

    • En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x - y - 2 = 0 Derivada implícita Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

13. Otros tipos de funciones

    • Función radial
      • Una función radical o función raíz es la que la variable dependiente y se obtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variable independiente x. y= n raiz f(x). Son llamadas también funciones irracionales. Cuando el índice de la raíz n es par, el dominio de la función son los valores de x que hacen al radicando cero o mayor que cero. Cuando el índice es impar, el dominio son los números reales
    • Función cubica
      • Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x^3): f(x) = ax^3+bx^2+cx+d siendo a desigual 0. Una función cúbica puede tener tres raíces reales dos o una. Las raíces de una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Es decir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X
    • Función derivada
      • La función derivada f’ de una función f que sea derivable en un intervalo I es una nueva función que hace corresponder para cada valor de x ∈ I el valor de la derivada de f en ese punto. En otras palabras, la función derivada f’ recoge todos los valores de las derivadas de f existentes en todos los puntos de su dominio. Puede ocurrir que f no tenga derivada en todo su dominio. En ese caso, el dominio de la función derivada f’ es más pequeño que el dominio de f.
    • Función definidas a trazos
      • Las funciones definidas a trozos (o función por partes) si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).
    • Función constante
      • Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x). f(x) = a siendo a constante. En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2).
    • Función afín
      • Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0). Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula: f(x) = mx+n. Los escalares m y n son diferentes de 0.
    • Función lineal
      • Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma: f(x) = mx siendo m la pendiente y diferente de 0. También se llaman funciones de proporcionalidad directa. La constante m es la razón de proporcionalidad. El término independiente n de la función afín es cero.
    • Función identidad
      • Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo: f(x) = x Estas funciones también suele denotarse por id. La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz. La función identidad es importante en la función inversa.
    • Función cuadrática
      • Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) son funciones polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x^2): f(x) = a x^2+bx+c siendo a desigual 0. Una función cuadrática puede tener dos raíces reales, una o ninguna. Las raíces de una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Es decir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X.

Images and files in the map