El concepto de Función

El concepto de Función

1. Una función puede entenderse como una máquina que realiza un proceso de transformación de elementos de un conjunto de entrada a uno de salida (dominio y codominio respectivamente)

   • Dominio: Conjunto de partida
   • Codominio: Conjunto de salida
   • Imagen e imagen inversa
     • Una función f es la relación que asigna a un elemento de un conjunto X otro elemento del conjunto Y.
     • Los elementos de Y pueden tener una o varias anti-imágenes en X.
   • Criterio de la recta

2. Historia

   • René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como la dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz acuñó los términos “función”, “variable”, “constante” y “parámetro”. Y la notación ƒ(x) fue primeramente utilizada por A.C Clairaut y por Leonhard Euler. Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera

3. Notación

   • ƒ: A → B a → f(a)

4. Sobreyectiva, Inyectiva, Biyectiva

   • Las funciones sobreyectivas son aquellas cuando todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.
   • una función es inyectiva cuando cada elemento del recorrido es la imagen de solo un elemento de A.
   • Es denominada de esta manera, a una función que cumple con ser inyectiva y ser sobreyectiva a la vez.

5. Álgebra de funciones

   • Composición de funciones
     • Retomando la analogía de que las funciones son como máquinas que transforman los valores de entrada, la composición de funciones consistiría en agregar otra transformación al proceso.
   • Función identidad
     • En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como dominio y codominio el propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.
       • f(x)= x m=1
   • Función inversa
     • Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inversa da 1.
       • f o g = idB f o g = idA
   • Funciones acotadas
     • Una función está acotada si está superior e inferiormente.
       • k′ ≤ f(x) ≤ k
       • Superior: si existe un número real K tal que para toda x es f(x) ≤ K. El número K se llama cota superior.
       • Inferior: Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior.
       • Máximo y Mínimo absoluto
         • Máximo y mínimo relativo
           • Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
         • Se llama extremo superior de una función f a la menor de las cotas superiores de dicha función. Se representa por sup(f).
           • Se llama extremo inferior de una función f a la mayor de las cotas inferiores de dicha función. Se representa por inf(f).
   • Funciones simétricas
     • Funciones pares
       • simétricas respecto al eje de ordenadas OY
     • Funciones impares
       • simétricas respecto al eje de ordenadas OX
   • Funciones periódicas
     • Las funciones periódicas refieren aquellas que cuentan con un comportamiento cíclico, es decir, repetitivo sobre un intervalo en específico llamado periodo.
       • f ( x + P ) = f ( x )
         • Funciones trigonométricas
   • Función exponencial
     • Una función exponencial es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a
       • f(x)=ax
         • Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
   • Funciones Polinómicas
     • Las funciones polinómicas son aquellas que se verán vinculadas matemáticamente con un polinomio.
       • Función constante
         • Una función se definirá como constante si la variable independiente y toma el mismo valor que a para cualquier elemento del dominio (variable independiente).
           • P(x)=a
             • a pertenece a los números reales
       • Función lineal
         • Una función lineal es una función polinómica que se vincula a un polinomio de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto del par ordenado (0,0). Son funciones rectas de la forma:
           • f(x)=mx
             • Función afín: f(x) = mx + n con m, n constantes reales no nulas.
             • Ecuación de la recta
               • (y2-y1)/(x2-x1) = m
             • Rectas
               • Paralelas
               • Perpendiculares
               • Colineales
               • Secantes
       • Función cúbica
         • Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x3).
           • f(x)=ax3+bx2+cx+d
       • Funciones cuadráticas
         • Las funciones cuadráticas o funciones de segundo grado, son funciones polinómicas, en donde el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2)
           • f(x) = ax2 + b x + c
           • Concavidad
             • Si a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba.
             • Si a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo.
           • Eje de simetría
           • Ordenada al origen
           • Raíz

6. Representaciones

   • Expresión
   • Tabulación
   • Pares ordenados
   • Registro verbal
   • Algorítmico
   • Gráfica
     • Crecientes y decrecientes

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