Funciones 17

Funciones 17

1. 1. Formas de expresar una función

   • Tabla de valores
   • Expresión algebraica
   • Gráfica
   • Descripción verbal

2. 2. Cálculo de dominios

   • Función dada mediante una expresión algebraica
     • Funciones polinómicas
       • Dominio= R
     • Funciones racionales
       • El dominio se calcula igualando a 0 el denominador y el resultado no se encuentra incluido en el dominio.
     • Funciones irracionales
       • El Dominio se saca haciendo que g(x) sea igual o mayor que 0. De esta manera, nos quedamos con los valores positivos al calcular la inecuación.
     • Funciones logarítmicas
       • El Dominio se calcula poniendo g(x) mayor que 0. De esta manera, nos quedamos con los valores positivos al calcular la inecuación.

3. 3.Composición de funciones

   • Dadas dos funciones f y g, se llama función compuesta de f y g y se designa por g y f a la función que transforma x en g [f(x)].
   • Propiedades
     • Composición NO conmutativa
       • (f o g distinta de g o f)
     • Composición asociativa
       • f o (g o h) = (f o g) o h

4. 4. Función inversa

   • Función que a cada valor de x asigna el mismo valor x se llama "Función identidad". Función identidad: Id(x)=x Su gráfica es la bisectriz del 1º y 3º cuadrante, divide al ángulo a la mitad. g o f = Id Es decir: f o g(x) = Id(x) Se dice que g es la inversa de f y al revés.  Y se pone: g = f^-1  o bien: f = g^-1 También llamada función recíproca. ¡IMPORTANTE! f o f^-1(x) = Id(x) f^-1 0 f(x) = Id(x)
   • Propiedades de la inversa
     • La gráfica de una función y la de su inversa son simétricas respecto de la recta y=x (bisectriz del primer y tercer cuadrante)
     • Condición necesaria para que una función tenga inversa
       • Para que una función tenga inversa no puede haber 2 valores de x que tengan la misma imagen (el valor y)
     • Comprobación de la inversa
       • f o f^-1(x) = Id(x)  f^-1 0 f(x) = Id(x) Cuyo resultado tiene que ser x

5. 5.Funciones elementales

   • Funciones polinómicas de grado 0 y 1
     • Tienen por gráfica una recta Grado 0: f(x) = k (siendo k un número real Grado 1: f(x) = mx + n Si m>0 Recta creciente Si m<0 Recta decreciente y=n constantey=mx + n afíny= mx lineal
   • Funciones cuadráticas
     • Su representación gráfica es una parábola. f(x)= ax^2 + bx + c con a distinta de 0 Si a>0 las ramas van hacia arriba Si a<0 las ramas van hacia abajo Calculo del eje de la parábola: x = -b / 2a.
   • Funciones de proporcionalidad inversa
     • Su representación gráfica es una hipérbola. Las funciones y= k/x (k distinta de 0). Tienen una asíntota horizontal y otra vertical. A. Horizontal: y=0 (eje x) A. Vertical: x=0 (eje y) Si k>0 se representan en el 1º y 3º cuadrante Si k<0 se representan en el 2º y 4º cuadrante.
   • Funciones raíz
     • Son de la forma: y = √kx              (k distinta de 0) Siempre son crecientes  Dom (f)= [0,+∞ ]
   • Funciones exponenciales
     • Son de la forma f(x)= a^x con a>0 y a distinta de 1. Dominio(f)= R Toman siempre valores positivos y tienen una A. Horizontal. y=0 (eje x). Si a>1 son funciones crecientes Si a<1 son funciones decrecientes Todas pasan por el punto(0,1)
   • Funciones logarítmicas
     • Es la inversa de la función exponencial y son de la forma f(x) = log(x) Si a>1 es creciente Si 0
   • Funciones trigonométricas
     • Función seno
       • Son de la forma f(x)= sen x Pasan por el punto (0,0)
     • Función coseno
       • Son de la forma f(x) = cos x pasan por el punto (0,1)
     • Función tangente
       • Son de la forma f(x)= tg x

6. 6. Funciones definidas a trozos

   • Se divide el plano en zonas correspondientes a cada intervalo y se representa la función correspondiente.
   • Caso especial
     • Función valor absoluto

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