Integral

Integral

1. Integral Indefinida:

   • Uma função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se para todo x E I, temos F'(x) = f(x).
     • As primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos as duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo de I.
   • A integral indefinida resultará em uma função, que é chamada de primitiva da função que se está integrando:
     • Sempre que resolver uma integral indefinida deve aparecer aquele C no final, que é chamado de constante de integração. Essa constante aparece porque a derivada de uma constante é zero, então pode haver uma família de funções do tipo g (x) + C tal que a derivada será igual a f(x) , justamente porque o valor da constante não fará diferença na derivada porque derivada de constante é zero.

2. Método da Substituição

   • Seja f(x) e F(x) duas funções tais que F'(x) = f(x). Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem g esteja contida no domínio de F.

3. Método de integração por partes:

4. Integral Definida

   • Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a até b, é denotada por:
   • Propriedades da integral definida:

5. Propriedades da integral indefinida:

6. Teorema fundamental do cálculo:

   • Se f for contínua em [a,b], então a função F definida por:
     • É contínua em [a,b] e diferenciável em (a, b) e F’(x)=f(x), isto é, F é a antiderivada de f.
       • Observe que F depende somente de x, que aparece como variável superior do limite da integral. Se x for um número fixado, então a integral é um número definido. Se variarmos x, o número da integral acima também varia e define uma função de x denotada por F(x). F(x) pode ser interpretada como a área sob o gráfico de f de a até x, onde x pode varia de a até b - “função área até aqui” Sabemos a definição da derivada:

7. Integrais de funções contínuas por partes:

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