Números Naturales

Números Naturales

1. Son utilizados para contar y son nombrados con la letra N

   • Se encuentran
     • Números primos
       • Características
         • El único número par es el 2
         • El 5 es el único número que termina en 5
         • Factores a tener en cuenta en la divisibilidad de los primos
           • Se divide en 2 si es número par
           • Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3
           • Un número es divisible por 5 si su unidad es 0 o 5
           • Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los dígitos que ocupan un lugar par y los que ocupan un lugar impar es múltiplo de 11.
         • ¿Números primos entre sí?
           • Puede darse el caso que dos números no posean ningún divisor común, estos son números primos entre sí
     • Números compuestos
       • Se dice que un número es compuesto cuando no solo sus divisores son el 1 y sí mismos, si no que tiene más divisores.
         • Ejemplo: Descomponer el número 900 en sus factores primos.
         • Otro ejemplo de numero compuesto seria el siguiente: 16 es compuesto porque es divisible por {1, 16, 2, 4 y 8}.
     • El número 1 es especial ya que no es ni primo ni compuesto

2. Máximo común divisor

   • Al comparar dos números naturales siempre hay números que son divisores comunes
     • En primer lugar, se debe descomponer cada uno de los números en sus factores primos, luego se multiplican los factores comunes de ambos, elevados al menor de sus exponentes.
       • Ejemplo: Hallar el máximo común divisor de 228 y 192.

3. Mínimo común múltiplo

   • Los números naturales tienen infinidad de múltiplos, y el mínimo común múltiplo o MCM es la comparación de los múltiplos de dos números.
     • Dados dos ejemplos de números múltiplos
       • Dados los ejemplos 1 y 2 con números múltiplos el 7 y de 5 se puede observar que sus múltiplos comunes son MC = {35, 70, 108,...}
         • El mas pequeño de los múltiplos comunes es el mínimo común múltiplo

4. Números Enteros

   • • Valor absoluto de un número es representado de la siguiente forma
       • :
   • Son números naturales que tienen el signo negativo, se representan con la letra Z
   • Operaciones internas dentro del conjunto Z
     • Las operaciones de números enteros, en las que su producto es un número entero
       • • Para sumar números enteros debe tenerse en cuenta los siguientes:
           • 1) Si ambos números tiene el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo. Por ejemplo:
           • 1) Si ambos números tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se deja el signo del mayor
         • Para la multiplicación de números enteros se debe tener en cuenta lo siguiente:
           • 1) Se debe de tener en cuenta la ley de los signos:
           • 2) aunque no es obligatorio, es conveniente es conveniente en una multiplicación encerrar el signo y el numero entre paréntesis. Esto se hace para evitar confusión:
         • Multiplicar un numero entero X veces por si mismo x vecces se denomina potenciación, para las operaciones de potenciación es el siguiente
           • Propiedades de la potenciación
             • Igualdades notables respecto a la suma y la diferencia
   • Números racionales
     • NÚMEROS REALES
       • Números irracionales
         • Un numero irracional es un valor que no puede ser expresado de manera exacta ni de manera periódica , menos aun como una fracción
           • Algunos ejemplos de números irracionales
         • Los números irracionales se encuentran contenidos en el conjunto de los números reales
           • Operaciones con los números irracionales
             • Dentro de los números irracionales se puede realizar operaciones de suma, resta, división y multiplicación.
               • Cabe resaltar que las operaciones dentro de los irracionales no siempre da como resultado un numero irracional
               • • Dos irracionales cuyo producto es irracional
               • • Dos irracionales cuya suma resulta un irracional
               • • Dos irracionales cuya suma es un irracional
               • • Dos irracionales cuya producto es un irracional
       • Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
         • El contenido del conjunto de los números naturales es el siguiente
           • • Los números naturales se encuentran contenidos en los números enteros, los enteros están contenidos en los números racionales y estos a su vez están contenidos dentro de los números reales
             • Cabe resaltar que los números irracionales se encuentran dentro del conjunto de los números reales, representado con la I mayúscula
           • Los números reales se representan con la letra R
         • En los números reales existen dos operaciones básicas, estas son: la suma y la multiplicación, de las cuales se extienden sus opuestos que son la resta y la división
           • Características de los números reales
             • Propiedad conmutativa de la suma
               • El orden de los sumandos no altera el producto
             • Propiedad asociativa de la suma
               • Dados tres o dos sumandos se puede agrupar de cualquier forma
             • Propiedad conmutativa de la multiplicación
               • El orden de los factores no altera el producto
             • Propiedad asociativa de la multiplicación
               • Dados tres o mas factores se puede agrupar de cualquier forma
             • Propiedad distributiva
               • Dados tres números a, b y c el producto de a por la suma b con c es la suma de los productos ab y ac
             • Otras propiedades de los números reales
               • Elemento neutro de la suma
                 • Es aquel número que sumado con otro da como resultado al segundo número
               • Elemento neutro de la multiplicación
                 • Es aquel número que multiplicado con otro da como resultado al segundo número
     • Un número racional es el cociente de dos números enteros donde el segundo no puede ser 0, es decir el denominador
       • • Aquí se entiende que A es el numerador dentro de la fracción y B es el denominador
     • Operaciones dentro de los números racionales
       • Fracción irreducible
         • Una fracción es irreducible si el numerador y el denominador son números primos
       • Simplificación de fracciones
         • Se reducen las fracciones utilizando los numeros primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...}
       • Caracteristicas de las fracciones
         • Fracciones equivalentes
           • Dos fracciones son equivalentes cuando al multiplicar sus extremos y sus medios el resultado es el mismo:
             • • En el presente ejemplo se muestra la fracción A es equivalente con la fracción B, ya que la multiplicación de los extremos y aparta los medio el resultado C es el mismo
         • Casos puntuales división de fracciones
           • Que el resto de la división sea 0 y el cociente un número entero . se dice que la división es exacta. por ejemplo:
             • • En el ejemplo dado el numerador (35) es un múltiplo del denominador (7), quedando como cociente un numero entero (5)
           • que el resto de la división sea 0 y el cociente un numero decimal, se dice que el numero es un decimal exacto. ejemplo:
             • • En el ejemplo dado el numerador (324) y el denominador (5), quedando como cociente un numero decimal exacto
         • Fracciones y decimales
           • convertir un numero decimal exacto a fracción
           • convertir número decimal periódico a fracción
             • Al dividir 234.031 por 90 se obtiene el cociente 2.600,3444... que se suele escribir en la forma 2.600,3444. Un decimal que tenga esta forma está formado de tres partes: 2600 es la parte entera (E), 3 es el anteperiodo (A) y 4 es el periodo (P).
               • para hallar la forma decimal de este numero de aplica la formula
       • Suma de números fraccionarios
         • Es una fracción que se pude hallar de dos formas
           • 1
             • El denominador es el producto de todos los denominadores y el numerador es la suma del producto de cada numerador por todos los denominadores excepto el suyo propio.
               • Ejemplo:
           • 2
             • El denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores y el numerador se obtiene dividiendo el mínimo común múltiplo entre cada denominador, multiplicándolo por el numerador correspondiente y sumando los resultados obtenidos.
               • Ejemplo:
                 • • • • como consejo pactico se reduce 9/6 a su mínima expresión para que no se opere con números muy grandes, esto no afecta el resultado
                     • Primero se operan las dos primeras fracciones, para ello buscar el mínimo común múltiplo entre 5/2 y 9/8 el cual es 8
                     • luego se operan (sumar) las dos fracciones 20/8 y 9/8 debido a que tienen igual denominador
                   • descomposición factorial de los denominadores
       • Producto de números fraccionarios
         • El resultado de multiplicar varios números fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el demoninador es el producto de los denominadores
           • Ejemplo:
             • • • Se multiplica linealmente 4 * 3 dando como resultado 12, se multiplica 5 * 4 dando como resultado 20. la fracción 12/20 se reduce a su máxima expresión: 3/5
                 • • Nuevamente se multiplica 3 * 6 dando como resultado 18, luego se multiplica 5 * 2 dando como resultado 10. el resultado 18/10 se reduce a su máxima expresión
         • División de números fraccionarios
           • Ejemplo:
             • • Para realizar la división de fracciones, primero se multiplica el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción (4 * 4 ), de igual forma el denominador de la primera fracción multiplicado por el numerador de la segunda fracción (5 * 3)

5. Operaciones que se pueden realizar con números naturales

   • También se realiza otro tipo de operaciones bajo determinadas condiciones

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