TEMA 6: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

TEMA 6: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

1. 01. FUNCIONES

   • Una función es la relación entre dos variables, x e y, a cada valor de x, le corresponde un único valor de y.
   • Variable independiente x
     • Puede tomar diferentes valores, solo entre aquellos que tengan sentido.
   • Variable dependiente y
     • Su valor depende del valor que tome x.
   • Formas de expresar una función
     • Enunciado: Cada entrada son 20 euros
     • Expresión algebraica: y=20x
     • Tabla de valores:
     • Gráfica:

2. 02. DOMINIO Y RECORRIDO. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

   • Dominio: conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D(f).
   • Recorrido: conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R(f) o Im(f).
   • Puntos de corte con los ejes de coordenadas
     • Corte con el eje x
       • Todos ellos tienen variable dependiente, y, igual a cero.
       • Para obtenerlos, se iguala a cero la expresión algebraica de la función y se resuelve la ecuación: f (x) = 0 Puntos de corte con el eje X : (x, 0)
     • Corte con el eje y
       • Tienen su variable independiente, x, igual a cero.
       • Para obtenerlo, se sustituye la variable x por el valor de cero, x = 0 en la expresión algebraica de la función y se opera.

3. 04. CONTINUIDAD, PERIODICIDAD Y SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN

   • Continua: Si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.
   • Discontinua: Si la gráfica presenta algún salto o interrupción.
     • Tipos de discontinuidad
       • Discontinuidad evitable
         • No existe función en este punto
           • La función no está definida en el punto de discontinuidad. x = a
         • Punto desplazado
           • La función solo tiene un salto en el punto de discontinuidad x = a.
       • Discontinuidad inevitable
         • Salto finito
           • La función presenta un salto de longitud finita en el punto de discontinuidad x = a.
         • Salto infinito
           • La función presenta un salto de longitud infinita en el punto de la discontinuidad x = a.
   • Puntos de discontinuidad: Son los puntos donde la gráfica se interrumpe, se expresan con el valor de su abscisa.
   • Periodicidad de una función
     • Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo de la variable X.
     • Se llama período a la longitud del intervalo y se representa por T. Se cumple que f(x) = f (x + T) = f (x + 2T) = ... = f (x + n · T), donde n es un número entero.

4. 03. SIGNO DE UNA FUNCIÓN

   • Positiva
     • Una función es positiva cuando la gráfica está por encima del eje X.
   • Negativa
     • Una función es negativa cuando si su gráfica está por debajo del eje X.
   • Nula
     • Una función es nula si su gráfica está sobre el eje X. En ese caso se trata de los puntos de corte del eje X.

5. 05. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. EXTREMOS

   • Crecimiento y decrecimiento de una función
     • Creciente: en un intervalo de su dominio, (a, b), si al aumentar el valor de la variable independiente, x, se incrementa el valor de la función. Si a< b, entonces f (a) ≤ f (b):
     • Decreciente: en un intervalo de su dominio, (a, b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, disminuye el valor de la variable independiente, x, disminuye el valor de la función, es decir, si a < b, entonces f (a) ≥ f (b):
     • Constante: en un intervalo de su dominio, (a, b), si al aumentar el valor de la variable independiente, x, la función no crece ni decrece, para cualquier valor, x, entre a y b, se cumple f (a) = f (x) = f (b) :
   • Extremos de una función
     • Son los máximos y los mínimos de las mismas. Pueden ser relativos o absolutos.
     • Máximos y mínimos relativos
       • Una función tiene un máximo relativo en el punto x = a al pasar en dicho punto, de ser creciente a decreciente. El valor de la función en ese punto, f (a), es mayor que en los puntos de su entorno.
       • Una función tiene un mínimo relativo en el punto x = a, al pasar en ese punto, pasa de ser decreciente a creciente. El valor de la función en este punto, f (a), es menor que en los puntos de su entorno.
     • Máximos y mínimos absolutos
       • El máximo absoluto de una función es el máximo relativo que alcanza el mayor valor de la función.
       • El mínimo absoluto de una función es el mínimo relativo que alcanza el menor valor de la función.

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