Análisis combinatorio

Análisis combinatorio

1. El análisis combinatorio es una de las áreas más relevantes de las matemáticas. Una de las principales causas de este análisis son las enormes cantidades de aplicaciones que tiene en casi todas las áreas del conocimiento humano.

   • Estudia los diversos arreglos o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, formándolas y calculando su número, permitiéndonos resolver problemas de la vida real. Es decir, se ocupa esencialmente de contar objetos.
     • Actualmente, casi en cualquier actividad humana habrá necesidad de resolver algún problema de naturaleza combinatoria:
       • El supervisor de una fábrica que planea asignaciones de trabajadores a máquinas o áreas de trabajo.
       • De cuantas maneras diferentes se puede vestir una persona, si tiene 4 pantalones y 5 camisas.
       • El encargado de la elaboración de horarios en una universidad que necesita abrir todos los grupos que deben estar disponibles en un semestre de manera que estén disponibles para la mayoría de los estudiantes.
       • El ingeniero eléctrico que analiza diferentes alternativas de configuraciones para un circuito eléctrico
   • PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS COMBINATORIO:
     • PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
       • Si un evento o suceso "A" puede ocurrir , en forma independiente, de "m" maneras diferentes y otro suceso de "n" maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es "m . n"
         • Ejemplo:
           • En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón).
             • ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?
               • Solución
                 • 1. El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro equipos.
                   • 2. El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros tres equipos que restan
                     • 3. Por el principio de multiplicación, se observa que el evento del primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas, entonces el número de maneras totales será: 4x3 = 12
     • PRINCIPIO DE ADICIÓN
       • Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n" maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras.
         • Ejemplo:
           • Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador.
             • ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?
               • Solución

2. VARIACIONES

   • Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
     • Si importa el orden. Por ejemplo, si quiero saber de cuántas formas se puede elegir al campeón y subcampeón del mundial, no es lo mismo salir campeón que subcampeón, por ello, aquí si importa el orden.
       • Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
         • Existe dos tipos:
           • VARIACIONES SIN REPETICIÓN
             • Denominamos variaciones sin repetición de n elementos tomados de m en m ( siendo m menor o igual que n) a cada uno de los distintos grupos de m elementos escogidos de entre los n. Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto. No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo.
               • Ejemplo:
                 • En una carrera de 100 metros participan 8 corredores. De cuántas maneras diferentes se podrán repartir las medallas de oro, plata y bronce?
                   • n = Número de corredores que participan = 8 m = Número de medallas en cada variación = 3
                     • Las medallas de oro, plata y bronce, se pueden repartir de 336 maneras diferentes.
           • VARIACIONES CON REPETICIÓN
             • Son las distintas agrupaciones de n elementos, en los que pueden repetirse los elementos. Hay dos casos para las variaciones con repetición: m > n y n > m.
               • Ejemplo:
                 • Si un cuestionario tiene 15 preguntas y cada pregunta tiene tres opciones de respuesta, ¿cuántas formas distintas posibles existen de resolver el cuestionario?
                   • Tenemos los valores de m = 3 y n = 15, llegando a que el total de combinaciones posibles de resolver el cuestionario son:
                     • Entonces existen 14 348 907 formas distintas de resolver el cuestionario.

3. PERMUTACIONES

   • Es todo arreglo de n elementos, en donde importa el lugar o posición que cada uno de ellos tenga dentro de dicho arreglo.
     • •Influye el orden en que se colocan. • Tomamos todos los elementos de que se disponen.
   • PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
     • Cuando todos los elementos de que disponemos son distintos.
       • La fórmula que permite calcular el número de permutaciones con "n" elementos diferentes es: Pn = n!
         • Ejemplo
           • De cuántas maneras se pueden disponer en una mesa 3 hermanas? ( María, Sofía, Clara )
             • n = 3
               • Pn = n! = 3! = 3 x 2 x 1
                 • 3! = (3 x 2) x 1 3! = 6 x 1 3! = 6
                   • M = María. S = Sofía. C = Clara.
                     • Formación de los grupos:
                       • (M, S, C) (M, C, S) (S, C, M) (S, M, C) (C, S, M) (C, M, S)
                       • En una mesa, 3 hermanas se pueden disponer de 6 maneras.
   • PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
     • Si disponemos de elementos repetidos. (Ese es el nº de veces que se repite elemento en cuestión).
       • Las permutaciones con repetición de elementos donde el primer elemento se repite (a) veces, el segundo (b) veces, el tercero (c) veces.
         • n = a+b+c
         • Ejemplo
           • En una competición deportiva participan 4 equipos de 3 atletas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos?
             • El número de posibles clasificaciones es:
   • PERMUTACIÓN CIRCULAR
     • Son diferentes tipos de agrupaciones de todos los elementos de un conjunto, cuando estos han de ordenarse en círculos. En este tipo de permutación importa el orden y no se repiten los elementos.
       • Ejemplo
         • El comité directivo de una empresa consta de 8 miembros y se reúnen en una mesa ovalada.
           • ¿Cuántas formas distintas de ordenamiento alrededor de la mesa tiene el comité?
             • Se quiere hallar el número de formas distintas de ordenar los 12 miembros del comité alrededor de la mesa ovalada. N° de arreglos del comité = (12 – 1)P(12 – 1) = (12 – 1)!
               • N° de arreglos del comité = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
                 • N° de arreglos del comité = 39976800 formas distintas

4. COMBINACIONES

   • Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que
     • No influye el orden en que se colocan. Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
       • COMBINACIONES CON REPETICIÓN
         • Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos
           • No entran todos los elementos. No importa el orden. Sí se repiten los elementos.
             • Ejemplo
               • En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
                 • No entran todos los elementos. Sólo elije 4
                   • No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
                     • Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
     • COMBINACIONES SIN REPETICIÓN
       • La fórmula que permite calcular el número de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" , con k ≤ n ,es: nCk = n! / k!(n-k)!
         • n = Número de elementos para escoger k = Número de elementos de cada combinación
           • Ejemplo
             • Se tienen los 4 ases de una baraja y se quieren tomar al azar dos cartas. Cuántas y cuáles son las combinaciones que pueden resultar?
               • n = 4 = Número cartas para escoger k = 2 = Número de cartas en cada combinación
                 • Pueden resultar 6 combinaciones posibles de 2 cartas con los 4 ases.
                   • T = Trébol. C = Corazón. D = Diamante. P = Pica.

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