CALCULO DE LIMITES

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1. Introducción

En ocasiones, al calcular límites encontramos ciertas expresiones cuyos valores no conocemos a priori. Son las llamadas indeterminaciones. Para algunas de ellas existen reglas que nos permiten calcular su valor (como en el caso de 1 ∞ ). Pero la mayoría de las indeterminaciones no se resuelven de un modo tan directo, sino que debemos realizar una serie de operaciones o cálculos para poder determinar sus valores.

Debemos decir que en realidad, el cálculo diferencial nos proporciona un método muy efectivo y sencillo bajo ciertas condiciones: la Regla de L'Hôpital. Pero no emplearemos esta regla ya que tenemos una sección especialmente dedicada a ella: límites por L'Hôpital.

2. Indeterminaciones y Procedimientos

Cociente de infinitos: ∞/∞

Puede aparecer en cocientes muy variados: polinomios, raíces, exponenciales... En cada caso se procederá de forma distinta.

Resta de infinitos del mismo orden:

∞−∞

· Suele ocurrir cuando tenemos una resta de raíces o de exponenciales. En el primer caso, se multiplica y divide por el conjugado (si las raíces son cuadradas). En el segundo, multiplicamos y dividimos por la exponencial de base mayor.

· Uno elevado a infinito:

1∞

Aplicamos la siguiente fórmula:

Donde las funciones f, g y h las conocemos. La fórmula que aplicamos es la segunda igualdad.

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Cociente de ceros:

0/0

Suele aparecer en los límites en un punto finito cuando el denominador se anula. Normalmente será un polinomio y podremos factorizarlo.

Infinito elevado a 0:

∞0

Usamos los logaritmos para aprovechar sus propiedades, que son:

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Cero elevado a cero:

00

· Aparece en las exponenciales. Usamos logaritmos como en el caso anterior.

· Cero por infinito:

0⋅∞

Otros procedimientos que suelen funcionar:

Expresiones con exponenciales

Sabemos que el orden del infinito de una exponencial es mayor que el de una potencia o el de un logaritmo. Pero si tenemos varias exponenciales, multiplicamos y dividimos por la que tenga mayor base.

Sean los polinomios (de grados p y q)

Entonces, Notemos que el resultado del primer caso será infinito, pero multiplicamos por el cociente para saber el signo (positivo o negativo).

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Ejemplos:

1.

Tenemos un cociente de polinomios. Como el límite es al infinito y el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador:

2.

Tenemos un cociente de polinomios. Como el límite es al infinito y el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador:

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3.

Los monomios que más afectan al límite son los que tienen el grado mayor. Por ello podemos escribir:

Ahora sacamos la variable de la raíz usando las propiedades de las potencias:

Podemos considerar el límite como un cociente de polinomios del mismo grado, por tanto:

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Guillaume de l'Hôpital y "su" regla

uillaume François de l’Hôpital (1661-1704), más conocido como marqués de l’Hôpital, fue un matemático parisino conocido por la llamada Regla de L’Hôpital.

Esta regla permite, como veremos a continuación, el cálculo de límites de fracciones en las que el numerador y denominador tienden ambos al infinito o a cero.

En realidad, esta regla fue demostrada por Johann Bernoulli (1667-1748), pero por un acuerdo entre ambos, el descubrimiento lo publicó el marqués en su obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes en 1696. Esta obra es considerada el primer libro publicado sobre cálculo diferencial.

El acuerdo secreto fue revelado por el propio Bernoulli que, tras la muerte del marqués, aseguró ser el verdadero autor de la mayoría de los resultados publicados por l’Hôpital.

Cabe decir que, aunque se dice que l’Hôpital quiso llevarse los méritos, nunca anunció ser el descubridor y, de hecho, agradeció a Bernoulli su ayuda en su libro.

Ejemplos de Aplicación

La regla la usaremos para calcular límites con la indeterminación del tipo 0/0 y la de infinito dividido infinito. En realidad, como veremos en los ejemplos, podemos usarla para otro tipo de indeterminaciones.

Si tenemos las indeterminaciones

∞/∞, 0/0

Derivamos en el numerador y en el denominador para calcular el límite.

Dicho matemáticamente (de forma no rigurosa):

limx→a f(x)/g(x)=limx→a f′(x)/g′(x)

Podemos aplicar la regla tantas veces como queramos, siempre que tengamos la indeterminación cociente de infinitos o de ceros.

La regla es cierta tanto para los límites con x tendiendo a un punto como a infinito.

Ejemplo:

Tenemos la indeterminación cero dividido cero. Aplicamos L’Hôpital (la primera regla):

Tenemos de nuevo la indeterminación 0 dividido 0. Aplicamos L'Hôpital de nuevo (la primera regla):

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Recordemos que...

1. Concepto de Continuidad

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un sólo trazo.

Matemáticamente, una función es continua en el intervalo

I=]a,b[

si es continua en cualquier punto c del intervalo I.

La función f es continua en el punto c si

limx→c f(x)=f(c)

Esto quiere decir que la función es continua en c si la imagen del punto c, es decir, f(c), coincide con el valor que se espera que tenga f(c) (el valor que se espera es el límite).

2. Continuidad de las Funciones Básicas

Funciones polinómicas

f(x)=amxm + am−1xm−1 + ... + a1x + a0

· Son continuas en todos los puntos del dominio.

· Funciones racionales

f(x)=h(x)g(x)

· Son continuas en todos los puntos excepto en aquellos para los que los denominadores se anulan (g = 0 ) ya que no podemos dividir entre 0.

· Funciones exponenciales

f(x)=ax

· Son continuas en todos los puntos. Los casos especiales son cuando x es negativa (a no puede ser 0) y cuando |x| está entre 0 y 1 (es una raíz).

· Funciones logarítmicas

f(x)=log(x)

Son continuas en todos los reales positivos.

Estos son los tipos básicos de funciones elementales y la mayoría de funciones pueden considerarse como combinaciones (composiciones) de éstas.

3. Límites laterales

Los límites laterales los emplearemos en las funciones definidas a trozos.

El límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es

limx→c−f(x)

Y el límite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha es

limx→c+f(x)

El límite de f(x) cuando x tiende a c existe cuando los límites laterales existen y son iguales:

Lim x→c f(x)= lim x→c−f(x)=

=lim x→c+ f(x)

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EJEMPLO:

Puesto que es una función racional, el dominio es todos los reales excepto donde se anula en denominador, es decir, excepto los puntos que cumplen

Por tanto, el dominio es

La función es continua en todo su dominio.

Cuando x se aproxima a los puntos donde el denominador se anula, crece (o decrece):

limx→−3−f(x)=+∞

limx→−3+f(x)=−∞

limx→3−f(x)=−∞

limx→3+f(x)=+∞