AN Differenzialrechnung Zusammenfassung

Analysis

Was gehört alles zu 'Analysis'?

• Für das Themengebiet Analysis solltest du für das Abi die folgenden Grundbegriffe & -themen kennen und lernen:
• Differenzialrechnung (z.B. Differenzenquotient und Differentialquotient.)
• Ableitung sollte für dich kein Fremdwort sein
• Kenne die wichtigsten Ableitungsregeln
• Potenz-, Summen-, Faktor-, Ketten- sowie die Quotientenregeln
• Konvergenz und Grenzwerte
• von Funktionen
• Fragen wie „Wann ist eine Funktion differenzierbar?” und „Wann
• ist eine Funktion stetig und wie untersucht man Funktionen hinsichtlich
• ihrer Symmetrie und Monotonie?” solltest du beantworten
• können.
• Also: Überlege dir, wie du im Abitur bei der Analyse von
• Funktionen vorgehen kannst.
• 
• Caption: Behalte den Durchblick!

Funktionen generell

• Eine Funktion besteht aus drei Teilen:
• Funktionsgleichung
• Definitionsmenge
• Wertemenge
• Beispiel einer Funktion: y=2x, D={1,2,3,4}, W={2,4,6,8}
• Erklärung
• Bei y=2x handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem x-Wert machen muss, um den dazugehörigen y-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder x-Wert mit 2 multipliziert werden.
• Bei D={1,2,3,4} handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche x-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für x einsetzen.
• Bei W={2,4,6,8} handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche y-Werte die Funktion annehmen kann.
• https://www.youtube.com/watch?v=Z1OGYnhHaIQ (Embed)
• Caption: Ein Videotutorial, dass dir noch einmal genau erläutert, was es mit einer Funktion auf sich hat

Grundlagen zur Ableitung von Funktionen - Konstante Steigung

• Zunächst ist zu klären, was es mit der Steigung auf sich hat. Zu diesem Zweck schau dir zunächst eine lineare Funktion an.
• Schau dir die linke Grafik an: Eine
• Funktion. Ziel ist es, deren Steigung zu bestimmen.
• Steigung? Das kennst du z.B. von einer Straße,
• die den Berg hoch geht. Du hast also eine Steigung zu bewältigen. So
• etwas kann man auch mathematisch beschreiben. Also schau die Grafik einmal an..
• Wie du siehst, ist die Steigung überall gleich. Diese möchten wir
• nun ausrechnen. Dabei wählen wir zwei Punkte und bilden dann ein
• Steigungsdreieck. Hier eine Schritt-für-Schritt Anleitung:
• Wähle einen ersten Punkt auf der Gerade aus. Punkt 1: x = 6 und y = 3
• Wähle einen zweiten Punkt auf der Gerade aus: Punkt 2: x = 2 und y = 1
• Bilde Δy durch Subtraktion der y-Angaben: 3 - 1 = 2
• Bilde Δx durch Subtraktion der x-Angaben: 6 - 2 = 4
• Steigung = Δy : Δx -> Steigung = 2 : 4 = 0,5
• Die Steigung beträgt somit 0,5
• 
• Caption: Eine Funktion

Nicht konstante Steigung

• Die Steigung gerade war überall gleich. Das macht es recht einfach, diese zu
• berechnen. Aufwendiger wird es bei einer "krummen" Funktion. Genau darum dreht sich die
• Differentialrechnung:
• Du willst die Steigung in einem gewissen Punkt rausfinden. Nimm dazu den Punkt x = 2 und y = 1, den wir durch ein kleines
• Kreuzchen in der Grafik eingezeichnet haben. Um ein Steigungsdreieck zu
• erhalten wird ein zweiter Punkt eingetragen ( so wie wir das auch bei
• der linearen Funktion gemacht haben ), in diesem Fall bei x = 7 und y =
• 5,5. Verbinde diese beiden Punkte. Du erhälst eine Sekante, sprich
• die Funktion wird an zwei Stellen geschnitten ( dort wo die Berührpunkte
• mit der eingezeichneten Gerade liegen ). Mit dieser kannst du
• eigentlich jetzt die Steigung berechnen, eigentlich...
• Denn leider haben wir einen kleinen Fehler gemacht. Schaut man sich die
• Gerade einmal an, sieht man, dass diese nicht ganz der Steigung im Punkt
• x = 2 und y=1 entspricht.
• Der Grund: Die Funktion, die wir haben, ist
• gekrümmt und ändert ständig die Steigung. Nehmen wir uns also einen
• zweiten Punkt in etwas größerer Entfernung zum ersten Punkt, entsteht
• eine "ungenaue" Steigung. Deshalb müssen wir den zweiten Punkt ganz nah
• am ersten Punkt wählen. Schieben wir diesen zweiten Punkt ganz nah an
• den ersten ran, haben wir irgendwann den Punkt erreicht, wo der eine
• Punkt fast auf dem zweiten Punkt liegt. Wir haben dann nur noch einen
• Schnittpunkt mit der Geraden und damit eine Tangente mit exakter
• Steigung vorliegen.
• 
• Caption: Nicht konstante Steigung

Die Differentialrechnung

• Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten. Schülern
• wird manchmal die Herleitung erspart oder nur in kurzer Zeit gezeigt.
• Was du dir merken musst: Durch das Ableiten einer Funktion erhälst du deren Steigungsverhalten.
• Um dies möglichst einfach zu machen,
• brauchst du dich nicht mit Grenzwertübergängen zu quälen, sondern musst
• "nur" einige Ableitungsregeln kennenlernen. Mit genau diesen befassen
• wir uns in den folgenden Folien.
• Dabei gilt: f(x) = ... bzw. y = ... stellt die "Ausgangsfunktion" dar.
• Leitet man ab, erhält man f'(x) = ... bzw. y' = .... Leitet man noch einmal ab, erhält man f''(x) = ... bzw. y'' = .

Differenzialgleichung lösen - Video

• https://www.youtube.com/watch?v=YKSt_YC4zv4 (Embed)

Ableitung: Faktor- & Potenzregel

• Ziel ist es hier, Funktionen wie zum Beispiel f(x) = y = x4 oder f(x) = y = 3x2 oder auch f(x) = y = 5x abzuleiten.
• Allgemein gilt: y = xn mit der Ableitung y' = n · xn-1.
• Ein Faktor bleibt erhalten. Hier die allgemeine Anwendung der
• Faktorregel und Potenzregel, einige Beispiele folgen anschließend:
• Schreib dir die Aufgabenstellung in der Form y = ... auf
• Schreib darunter y' =
• Schreib den Exponent von x hinter y' =
• Schreib dann das x hin
• Der Exponent für die Ableitung wird um eins reduziert.
• Der Faktor bleibt erhalten
• Wie das linke Beispiel zeigt: Die Ableitung einer Zahl (ohne x) ist
• stets Null.
• 
• Caption: Beispiel

Ableitung: Summenregel

• Die Summenregel besagt:
• Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf
• gliedweise differenziert werden. Auch dies lässt sich am besten anhand
• vom Beispiel rechts zeigen.
• 
• Caption: Summenregelbeispiel

Ableitung: Produktregel

• Diese wird eingesetzt, wenn ein Produkt abgeleitet werden soll.
• Links siehst du die ausführliche und die kurze Schreibweise dessen.
• 

Beispiele für Produktregel

Quotientenregel

• Diese kommt zum Einsatz, wenn ihr einen Bruch ableiten wollt.
• Schau dir die Schreibweisen genau an, bevor dann auf der nächsten Folien zwei Beispiele dir alles näherbringen.
• 

Quotientenregel Beispiele

Alle Ableitungsregeln

• 
• https://www.youtube.com/watch?v=YaLo6CNsPvQ (Embed)
• Caption: Verschiedene Regeln nochmal auf einen Blick
• Caption: Lernvideo

Wendepunkt berechnen

• Wendepunkt:
• Ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph
• sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von
• einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
• Wie berechne ich einen Wendepunkt?
• Dazu bedient man sich wie auch
• beim Hochpunkt bzw. Tiefpunkt der Differentialrechnung. Die
• hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt lautet:
• f''(x0) = 0
• f'''(x0 ) ≠ 0
• Führe die folgenden Schritte durch:
• Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab.
• Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich
• Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
• Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor
• Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen
• 

Sattelpunkt berechnen

• Sattelpunkt: Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente
• Wie berechne ich einen Sattelpunkt?
• Dazu bedient man sich wie auch
• beim Hochpunkt bzw. Tiefpunkt der Differentialrechnung. Die hinreichende
• Bedingung für einen Sattelpunkt lautet:
• f'(x0) = 0
• f''(x0) = 0
• f'''(x0 ) ≠ 0
• Um eine Funktion auf Sattelpunkte hin zu untersuchen, führe die folgenden Schritte durch:
• Leite die Funktion f(x) dreimal ab.
• Setze die erste Ableitung Null
• Setze die zweite Ableitung Null
• Sofern möglich, setze diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
• f'''(x) muss dann ungleich Null sein
• Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen
• 

Lernmaterialien

• Analysis - Abiturvorbereitung Mathe
• Grundlagen der Analysis
• https://www.youtube.com/watch?v=V5BDSpzucd8 (Embed)