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Historia de los logaritmos

Aunque suene chocante, los logaritmos se descubrieron como

una estrategia para facilitar la multiplicación, división y raíces de números con varios decimales.

Triángulo en una superficie esférica

Imagen tomada de Wikipedia

El fundador de la teoría de los logaritmos y el que les dió ese nombre fue John Napier (1550-1617).

Napier, además de aficionado a las matemáticas, estaba interesado en la

astrología. Esto le llevó a investigar las propiedades de las figuras

geométricas sobre una superficie esféricas, obteniendo importantes

resultados en la resolución de triángulos esféricos. Sus estudios

acarreaban cálculos trigonométricos, los cuales implican números con

muchas cifras decimales. Tanto es así, que se convirtió en una prioridad

buscar algún algoritmo que facilitara los cálculos y ahorrara tiempo.

Napier se dió cuenta de algo que ya conocía Arquímedes (287 a.C.-id., 212 a.C) y después Michel Stifel (1487-1567):

1

2

3

4

5

6

7

2

4

8

16

32

64

128

En la primera fila de la siguiente

tabla se tiene números naturales y en la segunda, cada número es 2 elevado al número de la primera fila.

Para multiplicar dos números de la segunda fila: ejm. 8·16, podemos sumar los dos números correspondientes de la primera fila: 3+4 = 7 y luego buscar el número asociado en la segunda fila: 128.

De esta manera, en lugar de hacer una multiplicación, se realiza una

suma, lo que es más cómodo cuando en lugar de tener números tan

manejables tenemos otros con muchos decimales.

Parece ser que Stifel se

dio cuenta del juego que podía dar una tabla de números como la

anterior, sin embargo no profundizó más en ello. Por otro lado,carecía aún de una herramienta: las fracciones decimales,

que no aparecieron hasta después del año 1600 y gracias a las

cuales los logaritmos fueron tan útiles.

John Napier

En cambio, Napier vio en la idea de

Stifel una solución a su problema. Bastaba elegir una tabla adecuada

a los números que debía utilizar. De esta manera, la segunda fila

de la tabla la construyó con los senos de ángulos entre 0º y 90º y de tal manera que cada uno de los números

era el anterior multiplicado por 0.9999999, y los llamó

antilogaritmos. A los números de la primera fila los llamó

logaritmos (los exponentes de la base para obtener la segunda fila)

En 1614 publicó Mirifici logarithmorum canonis descriptio o

“descripción de la maravillosa regla de los logaritmos” y hasta

dos años después de su muerte no se publicó cómo fueron

construidas sus tablas en la obra Mirifici logarithmorum canonis

construccio (“Construcción de la maravillosa regla de los

logaritmos"). Hay que señalar que Napier no concibió en los logaritmos como lo hacemos hoy en día (en resumen, representa un exponente. algo hasta simple), sino que fue algo bastante más complejo:

"El logaritmo de un seno dado es el número que aumenta

aritméticamente con la misma velocidad a la que el seno ha comenzado a

disminuir desde el seno dado proporcionalmente a su longitud"

Como puede observarse, esa definición se basa en cálculos

trigonómétricos y en algún tipo de movimiento... Y asusta, así que lo

dejamos así. Los comienzos pueden ser duros y no es raro que algunas

ideas se vayan simplificando con el paso del tiempo.

COLABORACIONES FRUCTÍFERAS

John Briggs

Imagen de:

http://dhthmates.wikispaces.com

La obra de Naiper no pasó desapercibida. Cuando publicó el primer libro John Briggs (1561-1630)

se dio cuenta en seguida del gran potencial de la idea de Napier. Los

dos se vieron antes de la muerte de este y discutieron la posibilidad de

facilitar aún más las cosas si utilizaban 10 como la base de los

logaritmos, además de la posibilidad de que 100 = 1, es decir, log 1 =0 (algo

que traía de cabeza a Napier). Sin embargo, Napier, que ya estaba

enfermo no quiso modificar todo lo que ya tenía hecho y Briggs publicó

las primeras tablas de logaritmos decimales en 1618 (un año después de

la muerte de Napier). En ellas aparecen los logaritmos decimales de los

números de 1 a 1000 ¡con una precisión de 14 decimales! Años más tarde

publicaría los logaritmos decimales de los números de 1 a 20000 y de

90000 a 100000 con la misma precisión.

A Briggs le debemos entonces los logaritmos decimales. El nombre de logaritmo neperiano (base e) es en honor de Napier. Aunque, ni siquiera llamaba al número "e" por su nombre, ya que este ni siquiera estaba "bautizado" en aquella época,

aún estaba "en pañales"... Mejor, sin identificar. Aún así, de sus

cálculos se deduce que la base de sus logaritmos era un número cercano a 1/e y que hoy escribimos como:

Sí... Uno piensa que vaya número rebuscado para la base de un

logaritmo... Pero se estaba empezando y ese sería el que él estimó mejor

para sus cálculos.

Joost Bürgi

http://.educastur.princast.es

HISTORIA PARALELA: NO ESTAR EN EL SITIO Y MOMENTO OPORTUNOS

Sin embargo, existió otro personaje Jobst Bürgi (1552-1632), un relojero y constructor de instrumentos suizos que utilizó como base de los logaritmos un número próximo a e (aunque parece ser que no fue muy consciente de ello):

Según parece llegó a la idea de logaritmo de forma independiente

incluso antes que Napier, pero no publicó su trabajo hasta 1620 (a

sugerencia del mismo Kepler) en Praga y, además, en período de guerra,

por lo que no se propagó.

¿CÓMO CALCULAR TANTOS LOGARITMOS?

Ahora bien, ¿cómo elaborar las tablas para que realmente sean útiles?

Briggs miraba las tablas de logaritmos y antilogaritmos como dos

progresiones de números: una aritmética (la primera fila, la de los

logaritmos) y una geométrica (la segunda fila, la de los

antilogarimtos). Relacionando ambas progresiones, le resultaba más

fácil aproximar los valores de los logaritmos. Aún así, se

seguían necesitando muchos cálculos y tiempo para elaborar las tablas. A

primera vista parece que con el objetivo de ahorrar trabajo, se llega a

lo contrario: más trabajo. Pero el esfuerzo merecía la pena, ya que

aliviaría la tarea engorrosa en múltiples situaciones. Por otro lado en

el siglo XVII se descubrió un gran recurso para calcular dichos

logaritmos: los desarrollos en serie. Estos

consisten en que el logaritmo (al igual que innumerables funciones, por

no profundizar más) se puede expresar como un polinomio con infinitos

términos:

Expresión que es válida siempre y cuando: -1. De esta forma se pueden calcular los valores de los logaritmos decimales de números con tanta precisión como sea necesario (cuantos más sumandos añadamos, más precisión tendremos)

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