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cálculo de límites

• al calcular límites encontramos ciertas expresiones cuyos valores no conocemos a priori. Son las llamadas indeterminaciones. Para algunas de ellas existen reglas que nos permiten calcular su valor (como en el caso de 1 ∞ ). Pero la mayoría de las indeterminaciones no se resuelven de un modo tan directo, sino que debemos realizar una serie de operaciones o cálculos para poder determinar sus valores

Indeterminaciones y Procedimientos

• Cociente de infinitos
• Resta de infinitos del mismo orden
• Uno elevado a infinito
• Cociente de ceros
• Infinito elevado a 0
• Cero elevado a cero
• Cero por infinito

Cociente de infinitos

• Puede aparecer en cocientes muy variados: polinomios, raíces, exponenciales... En cada caso se procederá de forma distinta.

Resta de infinitos del mismo orden

• Suele ocurrir cuando tenemos una resta de raíces o de exponenciales. En el primer caso, se multiplica y divide por el conjugado (si las raíces son cuadradas). En el segundo, multiplicamos y dividimos por la exponencial de base mayor.

Uno elevado a infinito

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• Caption: .
• donde las funciones f, g y h las conocemos. La fórmula que aplicamos es la segunda igualdad

Cociente de cero

• Suele aparecer en los límites en un punto finito cuando el denominador se anula. Normalmente será un polinomio y podremos factorizarlo

Infinito elevado a 0

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• Caption: Usamos los logaritmos para aprovechar sus propiedades, que son
• El procedimiento para resolver límites con indeterminación cero por infinito es:
• Llegar a la indeterminación cero por infinito sustituyendo la x por el número al que tienda
• Operar dentro de la función para eliminar la indeterminación
• Resolver la indeterminación infinito entre infinito que nos queda

Cero elevado a cero

• Aparece en las exponenciales. Usamos logaritmos como en el caso anterior.
• Cero elevado a cero 0^0

Cero por infinito

• La indeterminación ∞ · 0 se transforma en otras indeterminaciones como ∞/∞ o 0/0, que ya hemos visto como se resuelven
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Otros procedimientos

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• Caption: Sean los polinomios (de grados p y q). Expresiones con exponenciales Sabemos que el orden del infinito de una exponencial es mayor que el de una potencia o el de un logaritmo. Pero si tenemos varias exponenciales, multiplicamos y dividimos por la que tenga mayor base. Sean los polinomios (de grados p y q)
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• Caption: Entonces. Notemos que el resultado del primer caso será infinito, pero multiplicamos por el cociente para saber el signo (positivo o negativo).