Clasificación de las funciones.

Clasificación de las funciones.

1. Función real de variable real.

   • Es aquella función matemática que hace corresponder a cada número real x ∈ R y otro número real y ∈ R a través de una regla de transformación f(x).
     • f : Domf → R x ↦ y = f (x)
       • El recorrido es igualmente importante, también llamado conjunto de imagen o simplemente imagen de la función, y es el conjunto de valores que realmente toma la salida.
         • Recf = { y ∈ R / ∃x ∈ Domf con f(x)= y }
       • Las funciones realices de variable real tanto el dominio como el condominio, como el conjunto de imagen son números reales
         • ( Domf ⊆ R, Codf ⊆ R, Recf ⊆ R )
     • f: Domf → R x ↦ y = f(x)
       • f: Función de R en R, es una regla que asigna a cada valor de R del dominio otro número real.
       • Domf: Dominio de definición de la función f, también llamado campo de existencia. Posibles valores que puede tomar la entrada de la función, puede ser el conjunto completo de los reales R o un subconjunto. Domf ⊆ R Domf = { x ∈ R / ∃y = f(x) ∈ R }
       • R: Es el condominio de la función, el conjunto de posibles valores que podría tomar la variable dependiente.
       • x: Es la variable independiente, es un número real que hace las veces de entrada de la función.
       • y= f(x): Es la variable dependiente, imagen de x. Es un número real que hace las veces de salida, para obtener su valor se aplica la función sobre el elemento x.
       • El recorrido también llamado conjunto de imagen o imagen de la función, es el conjunto de valores que realmente toma la salida.
         • Recf = { y ∈ R / ∃x ∈ Domf con f(x) = y }
           • El condominio es el conjunto de valores que podría tomar la salida. El dominio, condominio y conjunto de imagen son números reales. ( Domf ⊆ R, Codf ⊆ R, Recf ⊆ R ).
             • Representación gráfica.

2. Función inyectiva: polinomiales y racionales.

   • Una función inyectiva es aquella que al tomar dos valores diferentes en el dominio sus imágenes van a ser diferentes.
     • Inyectiva para cada elemento B tiene como mucho uno de A al que corresponde. Pero esta no dice que todos los elementos de B tengan alguno en A
       • ∀a,b ∈ Domf , si f(a) = f(b) ⇒ a = b
         • Para cualquiera de los dos elementos a y b, pertenecen al dominio de la función Domfi, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son iguales.
           • Gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma.
   • Polinomiales.
     • Aquellas que ocupan de un polinomio.
       • Son funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales.
         • Aquellas que describen las relaciones entre dos variables que intervienen. La gráfica de y= f(x) intercepta al eje Y en el punto (0, c)
           • Las funciones polinomiales son continuas.
   • Racionales.
     • Son expresadas mediante una fracción, dónde el numerador y el denominador son polinomios.
       • Su representacion viene dada por medio de una hiperbola, sus carcateristicas mas representativas son las asintotas (vertical y horizontal).

3. Funciones algebraicas: subreyectivas y biyectivas

   • Es la relación entre una variable y otra, siendo un resultado en pares de valores (x, y).
     • Dónde X siempre debe ser diferente. Por cada valor de X, debe existir solo un valor de Y.
       • f(x)= y X= variable independiente. Y= variable dependiente y se relaciona con X.
   • Subreyectivas.
     • También llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando su condominio y el recorrido coinciden.
       • ∀y ∈ Codf ∃x ∈ Domf / f(x) = y
         • Para cualquier elemento del condominio existe otro elemento X del dominio tal que la imagen de f(x)
           • Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf = ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf = ℝ.
             • Representación gráfica.
   • Biyectivas.
     • Cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
       • ∀y ∈ Codf ∃!x ∈ Domf / f(x) = y
         • Para cualquier elemento y del condominio existe un único elemento X del dominio tal que la imagen de f(x).
           • Representación gráfica.

4. Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

   • Se le llama función trascendente, aquella cuta variable contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas.
   • Trigonométricas.
     • Son las funciones de un ángulo, incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos.
       • Forma parte el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
         • Los angulos de las funciones se expresan como radianes, equivalentes a los grados de los angulos en funcion del radio de la circunferencia.
   • Logarítmicas.
     • Esta formada por un logaritmo de base a.
       • Siendo x un real positivo, x>0 y diferente de 1.
         • Cuando 0<x<1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando x>1, entonces es una función creciente.
           • Representación gráfica.
   • Exponenciales.
     • Es aquella que la variable independiente X aparece en el exponente y tiene de base una constante A.
       • Siendo a un real positivo, a>0 y diferente de 1.
         • Cuando 0<a<1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a<1, es una función creciente.
           • Representación gráfica.
             • Puede considerarse como la inversa de la funcion logaritmica.

5. Funciones escalonadas.

   • Es una función definida por partes, tal que en un intervalo finito (a, b) tienen un número finito de discontinuidades a las cuales se le llaman X0< X1< X2. En cada intervalo abierto (xi, xi + 1) tiene un valor constante de valor si, con discontinuidades-saltos-en los puntos xi.
     • La función escalonada puede tener cualquier cantidad de escalones y su anchura pueden ser diferentes y no siempre la escalera es ascendente o descendente.
   • Parte entera.
     • Se describe usando doble corchete. f(x)= [[x]]
       • Se define como una funcion asignada a cada numero real el entero maypor o menor mas proximo, ignorando cualquier decimal que tenga el numero.
     • Techo o cielo.
       • En esta función el escalón se delimita por un pequeño circulo hueco a la izquierda y uno lleno a la derecha, ya que a cualquier numero del intervalo, se le asigna el entero mayor entre los extremos del intervalo.
         • Representación gráfica.

6. Operaciones con fracciones: adición, multiplicación, división y composición.

   • Fracciones de adición.
     • Operación básica de la aritmética de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Se representan con el símbolo +, en la que consiste en combinar o añadir dos números o mas para obtener una cantidad.
       • Con igual denominador.
         • Cuando se tiene el mismo denominador, se suman los numeradores y se mantiene el denominador.
       • Con distinto denominador.
         • Si se tiene diferente denominador, se reducirá a su común denominador y se le sumaran los numeradores dejando el denominador.
   • Fracciones de multiplicación.
     • La multiplicación de fracciones de dos fracciones o mas se resuelve de forma lineal.
       • El numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda.
   • Fracciones de división.
     • Para dividir dos o mas fracciones, se resuelve en forma de cruz (se multiplica).
       • El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción dando el resultado del numerador.
         • El denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción dando resultado de el denominador.
   • Fracciones de composición.
     • Es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o mas funciones sobre un mismo elemento x.
       • La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f) primero actúa la función f y luego la g sobre f(x)

7. Función inversa.

   • f es una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (inicial x) un elemento de un segundo conjunto (final y)
     • La función inversa (o función reciproca) de f (definida por fˉ¹) es aquella que hace el camino inverso, asignando elementos de Y elementos de X.
       • Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si:
         • También se puede definir una función inversa a partir de la composición de funciones. fˉ¹ es la inversa de f y fˉ¹ si la composición de f de la función identidad.
           • Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.
             • Por tanto f como fˉ¹ deben de ser biyectivas.

8. Función implícita.

   • Es aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente no parece despejada.
     • Aquella función que se expresa mediante una igualdad. f(x,y)=0
       • Se puede considerar una función implícita como un caso particular de una función de dos variables f(x,t)= z, en el que z siempre vale
         • No todas las ecuaciones de dos variables son funciones implícitas. Para determinarlo se puede usar el teorema de la función implícita.

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