BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

1. Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones. * S genera a V. * S es linealmente independiente

   • Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

2. BASE

   • En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
     • La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn. Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como: 1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn 2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvn Restar 2-1 0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn
       • Unicidad representación de la base
         • Si S = {v1, v2,…, vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector en V puede escribirse de una y solo una forma como combinación lineal de vectores en S. Para demostrar la unicidad (que en un vector dado puede representarse sólo de una manera), se supone que u tiene otra representación u= b1v1 + b2v2+…+bnvn. Al restar la segunda representación de la primera se obtiene: u-u = (c1-b1)v1 + (c2-b2)v2 +… + (cn-bn)vn = 0. Sin embargo como S es linealmente independiente, entonces la única solución de esta ecuación es la trivial, c1-b1=0 c2-b2=0, …, cn-bn=0.

3. DIMENSION

   • Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V). La dimensión de Rn con las operaciones normales es n. La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1. La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn. Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
     • Definición de Espacio Renglón y Espacio Columna de una matriz
       • Sea A una matriz m x n. El espacio renglón de A es el subespacio de Rn generado por los vectores renglón de A. El espacio columna de A es el subespacio de Rn generado por los vectores columna de A.
       • Estos dos comparten muchas propiedades, pero debido al conocimiento que se tiene sobre las operaciones elementales en los renglones se empieza por considerar el espacio renglón de una matriz. Cabe recordar que dos matrices son equivalentes por renglones si una puede obtenerse a partir de la otra al aplicar operaciones elementales en los renglones.
     • Base para el Espacio Renglón de una Matriz
       • Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B que está en forma escalonada, entonces los vectores renglón de B diferentes de cero forman una base del espacio renglón de A.

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