Demostraciones de proposiciones.

Question	Answer
Si \((a_{n})\) es una sucesión convergente en un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) entonces su límite es único.	Emplear reducción al absurdo y trabajar las desigualdades.
Toda sucesión convergente \((a_{n})\) de elementos de un cuerpo \(\mathbb{K}\) está acotada en \(\mathbb{K}\).	Trabajar la definición de sucesión convergente.
Si \((a_{n})\) es una sucesión acotada y \((b_{n})\) es una sucesión convergente con límite cero, entonces \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=0\).	Imponer una condición adecuada a \(\epsilon\).
Si \((b_{n})\) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tal que \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\neq0\), entonces existe un número natural \(n_{0}\) tal que \(\|b_{n}\|>\frac{\|b\|}{2}\) para todo \(n\geq n_{0}\).	Empezar por \(\frac{\|b\|}=\|b\|-\frac{\|b\|}{2}=\|b+b_n-b_n\|-\frac{\|b\|}{2}\), y continuar con las desigualdades habituales.
Si \((a_{n})\) y \((b_{n})\) son dos sucesiones de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), entonces: 1. \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}+b_{n})=a+b\) 2. \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}-b_{n})=a-b\)	Trabajar las desigualdades.
Si \((a_{n})\) y \((b_{n})\) son dos sucesiones de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), entonces: 1. \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=a\,b\) 2. Si \(b_{n}\neq0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\) y \(b\neq0\), \(\underset{n}{lim}\,\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b}\)	Aplicar que \[a_{n}b_{n}-ab=a_{n}b_{n}-a_{n}b+a_{n}b-ab=a_{n}(b_{n}-b)+b(a_{n}-a)\] en el caso del producto, y demostrar que \[\underset{n}{lim}\,\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{b}\] en el caso del cociente.
Si \((a_{n})\) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tal que \(a_{n}\geq0\) para todo \(n\) y \(\underset{n}{lim}\,(a_{n})=a\), entonces \(a\geq0\).	Emplear reducción al absurdo.
Toda sucesión de Cauchy \((a_{n})\) de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) está acotada en \(\mathbb{K}\).	Imponer una condición adecuada a \(\epsilon\), y trabajar las desigualdades.
Toda sucesión convergente \((a_{n})\) de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) es una sucesión de Cauchy en \(\mathbb{K}\).	Trabajar las desigualdades.
En un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) en el que se verifica el axioma del supremo, toda sucesión \((a_{n})\) creciente y acotada superiormente es convergente y \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=sup\{a_{n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}\).	Trabajar las desigualdades.
Todo número real no negativo \(a\) tiene una raíz cuadrada no negativa única.	1. Distinguir entre \(a=0\) y \(a>0\). 2. Considerar el conjunto \(A=\{ x\in\mathbb{R}:x^2\leq a \} \). 3. Probar que \(A\) es no vacío y acotado superiormente. 4. Probar que \(sup\,A=a\) viendo que no puede ser \(s^2>a\) ni \(s^2<a\).
Sean \((a_{n})\) y \((b_{n})\) dos sucesiones de números reales tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), con \(a,\,b\in\mathbb{\bar{\mathbb{R}}}\). Se verifican las siguientes propiedades: 1. Si \(a=\pm\infty\) y \(b\in\mathbb{R}\), entonces \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}+b_{n})=\pm\infty\). 2. Si \(a=b=\pm\infty\), entonces \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}+b_{n})=\pm\infty\).	En el primer caso, emplear el hecho de que toda sucesión convergente en \(\mathbb{R}\) es acotada. En el segundo, aplicar las definiciones correspondientes.
Sean \((a_{n})\) y \((b_{n})\) dos sucesiones de números reales tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), con \(a,\,b\in\mathbb{\bar{\mathbb{R}}}\). Se verifican las siguientes propiedades: 1. Si \(a=\pm\infty\) y \(b>0\), entonces \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=\pm\infty\). 2. Si \(a=\pm\infty\) y \(b<0\), entonces \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=\mp\infty\).	Aplicar las definiciones correspondientes.
Sea \((a_{n})\) una sucesión de números reales tal que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\), con \(a\in\mathbb{\bar{\mathbb{R}}}\). Se verifican las siguientes propiedades: 1. Si \(a=\pm\infty\), entonces \(\underset{n}{lim}\,\frac{1}{a_{n}}=0\). 2. 2. Si \(a=0\), y \(a_{n}>0\) (resp. \(a_{n}<0\)) para todo \(n\in\mathbb{N}\), entonces \(\underset{n}{lim}\,\frac{1}{a_{n}}=+\infty\) (resp. \(-\infty\)).	Emplear el hecho de que si \(\|a_n\|> \frac{1}{k} \) para \(n\geq n_0\), entonces \(\frac{1}{\|a_n\|}<k\).
Un conjunto \(I\subset\mathbb{R}\) es un intervalo si y sólo si para cualesquiera \(x,\,y\in I\) tales que \(x<y\) se verifica que \([x,\,y]\in I\).	En el recíproco, emplear los conceptos de supremo e ínfimo.
Se verifican las siguientes propiedades: 1. \(\emptyset\) y \(\mathbb{R}\) son abiertos. 2. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.	Emplear la definición de conjunto abierto.
Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es abierto si y sólo si es unión de una colección finita o numerable de intervalos abiertos disjuntos.	1. Tener en cuenta que cada elemento \(x\in A\) pertenece a un intervalo que está contenido en \(A\). 2. Considerar que los extremos de estos intervalos poseen un ínfimo y un máximo tras los cuales dejan de estar incluidos en \(A\). 3. Demostrar que si un elemento no pertenece al intervalo de otro elemento, entonces los intervalos a los que pertenecen ambos son disjuntos. 4. Establecer una biyección entre \(Q\) y este conjunto de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades: 1. \(\emptyset\) y \(\mathbb{R}\) son cerrados. 2. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 3. La unión de cualquier coleción finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.	Emplear la definición de conjunto cerrado.
Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) los conjuntos \(int(A)\), \(ext(A)\) y \(fr(A)\) son disjuntos y se verifica que \(\mathbb{R}=int(A)\cup ext(A)\cup fr(A)\).	Emplear las definiciones de interior, exterior y frontera de un conjunto.
Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) los conjuntos \(int(A)\) y \(ext(A)\) son abiertos, y el conjunto \(fr(A)\) es cerrado.	Aplicar las definiciones correspondientes, así como el hecho de que \(fr(A)=\mathbb{R}-int(A)\cup \ext(A)\).
Para cada conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) el conjunto \(adh(A)\) es el mínimo cerrado que contiene a \(A\).	Probar que \(adh(A)\) es cerrado mediante \(adh(A)=int(A)\cup fr(A)=\mathbb{R}-ext(A)\), y que es el mínimo cerrado que contiene a \(A\) por reducción al absurdo.
Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es cerrado si y sólo si \(A=adh(A)\).	Demostrar que \(adh(A)\) es el mínimo cerrado que contiene a \(A\).
Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) se verifica que \(adh(A)=A\cup ac(A)\).	Aplicar el hecho de que \(adh(A)=int(A)\cup fr(A)\), y demostrar que se verifica al mismo tiempo que \(int(A)\cup fr(A)\subset A\cup ac(A)\) y \(A\cup ac(A) \subset int(A)\cup fr(A)\).
Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.	Aplicar que un conjunto es cerrado si y sólo si \(A=adh(A)\), así como que \(adh(A)=A\cup ac(A)\).
Todo intervalo \([a,\, b]\) es compacto.	1. Considerar un recubrimiento abierto \(\mathscr{A}\) del intervalo, así como un conjunto \(X\) de todos los \(x\in [a,\, b]\) para los que el intervalo \([a,\, x]\) está cubierto por un número finito de conjuntos de \(\mathscr{A}\). 2. Demostrar que \(X\) es no vacío y acotado superiormente, con lo que tiene un supremo. 3. Demostrar que el supremo de \(X\) pertenece a \(X\), y que el extremo \(b\) es igual a dicho supremo.
Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), un conjunto \(B\subset A\) y un punto de acumulación \(a\in B\). Si \(\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\), entonces también \(\underset{x\in B,\,x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\).	Aplicar la definición de límite de una función.
Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in\mathbb{R}\) de los conjuntos \((-\infty,\,a)\cap A\) y \((a,\,+\infty)\cap A\). Entonces \[\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\quad\textrm{si y sólo si}\quad\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=l\]	Aplicar la definición de límite de una función.
Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). Una condición necesaria y suficiente para que sea \(\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\in\bar{\mathbb{R}}\) es que para toda sucesión \((x_{n})\) de puntos de \(A\) distintos de \(a\) tal que \(\underset{n}{lim}\,x_{n}=a\) se verifique que \(\underset{n}{lim}\,f(x_{n})=l\).	Aplicar el hecho de que toda función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) con límite \(l\) en un punto \(a\in A\) conserva dicho límite en cada uno de los subconjuntos de \(A\) que contengan al punto \(a\). En el recíproco, emplear reducción al absurdo generando una sucesión a partir de \(n\) entornos de \(a\).
Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). El límite de \(f\) cuando \(x\rightarrow a\), si existe, es único.	Emplear reducción al absurdo considerando dos entornos disjuntos de ambos límites.
Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). Si es \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l<k\in\mathbb{R}\] existe un entorno \(N(a)\) tal que \(f(x)<k\) para todo \(x\in(A-\{a\})\cap N(a)\).	Aplicar la definición de límite de una función en un punto, y considerar un \(\epsilon\) adecuado.
Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), dos funciones \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\) tales que \(f(x)\leq g(x)\) para todo \(x\in A\), y un punto de acumulación \(a\in A\). Si se tiene que \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l\quad\textrm{y}\quad\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=m\quad\textrm{(}l\textrm{,}\,m\textrm{)}\in\mathbb{\bar{R}}\] entonces \(l\leq m\).	Emplear reducción al absurdo considerando un \(k\in\mathbb{R}\) tal que \(m\leq k\leq l\) para el cual existe un entorno \(N(a)\) tal que \(g(x)<k\) para todo \(x\in(A-\{a\})\cap N(a)\).
Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), tres funciones \(f\), \(g\) y \(h\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\) tales que \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) para todo \(x\in A\), y un punto de acumulación \(a\in A\). Si se cumple que \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=\underset{x\rightarrow a}{lim}\,h(x)=l\in\bar{\mathbb{R}}\] entonces también se verifica que\[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=l\]	Emplear la definición de límite de una función.
Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), dos funciones \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\), y un punto de acumulación \(a\in A\). Supongamos que \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l\quad\textrm{y}\quad\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=m\quad\textrm{(}l\textrm{,}\,m\textrm{)}\in\mathbb{\bar{R}}\). Entonces, se verifican 1. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(f+g)(x)=l+m\), 2. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(f-g)(x)=l-m\), 3. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(fg)(x)=lm\), 4. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(\frac{f}{g})(x)=\frac{l}{m}\), siempre que estén definidos los segundos miembros.	Emplear el hecho de que \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l\) si y sólo si para toda sucesión \((x_n)\) de puntos de \(A\) distintos de \(a)\ tal que \(\underset{n}{lim}\,x_{n}=a\) se verifica que \(\underset{n}{lim}\,f(x_{n})=l\).
Sean \(I\) un intervalo abierto y \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) una función creciente. Entonces para todo \(a\in \mathbb{R}\) existe los límites laterales de \(f\) en \(a\) y se verifica \[\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}\,f(x)\leq\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)\] Además, si \(a\) y \(b\) son dos puntos de \(I\) tales que \(a<b\), entonces \[\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}\,f(x)\leq\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)\]	Probar que dichos límites son el supremo o el ínfimo del conjunto que corresponda.
Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto \(a\in A\). Una condición necesaria y suficiente para que \(f\) sea continua en \(a\) es que para toda sucesión \((x_{n})\) de puntos de \(A\) tal que \(\underset{n}{lim}\,x_{n}=a\) se verifique que \(\underset{n}{lim}\,f(x_{n})=f(a)\).	Aplicar el resultado análogo en el caso del límite de funciones.
Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), dos funciones función \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\), y un punto \(a\in A\). Si \(f\) y \(g\) son continuas en \(a\), entonces las funciones \(f+g\), \(f-g\) y \(fg\) son continuas en \(a\). Además, si \(g(a)\neq 0\), entonces también \(f/g\) es continua en \(a\).	Aplicar el resultado análogo en el caso del límite de funciones.
Sean dos conjuntos \(A\subset\mathbb{R}\) y \(B\subset\mathbb{R}\). Si \(f:A\rightarrow B\) es continua en \(a\in A\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) es continua en \(b=f(a)\), entonces la función compuesta \(f\circ g\) es continua en \(a\).	Aplicar la definición de continuidad de una función en un punto mediante entornos.
Sea una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\). Una condición necesaria y suficiente para que \(f\) sea continua en \(A\) es que para todo abierto \(U\) exista un abierto \(V\) tal que \[f^{-1}(U)=A\cap V\]	Suponiendo que \(f\) sea continua en \(A\): 1. Considerar un conjunto abierto \(U\) para el cual \(f^-1(U)\) es no vacío. 2. Aplicar que \(f\) es continua para demostrar que existen entornos de puntos de \(A\) contenidos en U.\(A\) 3. Definir \(V\) como la unión de todos los entornos anteriores, y probar que \(A\cap V\) está incluido en \(f^-1(U)\), así como que \(f^-1(U)\) está incluido en \(A\cap V\). En el recíproco, desarrollar las hipótesis hasta llegar a la definición de continuidad mediante entornos.
Sea \(A\subset\mathbb{R}\) un conjunto compacto y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, el conjunto \(f(A)\) es compacto.	Extraer un subrecubrimiento abierto finito de un recubrimiento abierto \(\{U_{i}\}_{i\in I}\) de \(A\) teniendo en cuenta que para cada \(i\in I\) existe un intervalo abierto \(V_{i}\) tal que \(f^{-1}(U_{i})=A\cap V_{i}\).
Sean \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, el conjunto \(f(I)\) es también un intervalo.	Demostrar que para cualesquiera \(y_{1},\,y_{2}\in f(I)\) tales que \(y_{1}<y_{2}\) se cumple que \([y_{1},\,y_{2}]\subset f(I)\). Para ello, probar que la imagen del supremo del conjunto \(A=\{x\in\mathbb{R}:x_{1}\leq x\leq x_{2},\,f(x)\leq y_{o}\}\), donde \(y_{0}\in (y_{1},\,y_{2})\) y \(x_{1}\) y \(x_{2}\) son tales que \(y_{1}=f(x_{1})\), coincide con \(y_{0}\).
Sea \(f\) una función continua y creciente (resp. decreciente) en un intervalo \(I\). Entonces su función inversa \(f^{-1}\) es también continua y creciente (resp. decreciente) en \(f(I)\).	Probar que \(f^{-1}\) es monótona aplicando la definición, y partiendo de esa base demostrar que \(f^{-1}\) es continua por la izquierda y por la derecha.
Sean \(A\) un subconjunto compacto de \(\mathbb{R}\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, \(f\) es uniformemente continua en \(A\).	Considerar un subrecubrimiento abierto finito de la colección de entornos \(\{N(x,\,\frac{1}{2}\delta_{x}):x\in A\}\) para los cuales \(\|f(x)-f(y)\|<\frac{\epsilon}{2}\), y trabajar las desigualdades hasta satisfacer la definición de continuidad uniforme.
Sean \(A\) un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\). Si \(f\) es derivable en un punto \(a\in A\), entonces \(f\) es continua en \(A\).	Emplear notación de límites.
Sean \(A\) un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\), \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(a\in A\), \(B\) un subconjunto abierto que contiene a \(f(A)\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) una función con derivada finita en \(f(a)\). Entonces la función compuesta \(g\circ f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es derivable en \(a\) y \[(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\text{·}f'(a)\]	Definir una función \(h(y)\) que tome el valor \(g'(f(a))\) si \(y=f(a)\).
Sea \(f\) una función monótona y continua en un intervalo. Si \(f\) es derivable en un punto \(a\) interior a dicho intervalo y \(f'(a)\neq0\), entonces su función inversa \(f^{-1}\) es derivable en \(b=f(a)\) y \[(f^{-1})(b)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\]	Convertir la derivada de la función inversa en un límite en función de \(f\).

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