Matrices Vectores Determinantes

MATRICES

VECTORES

DETERMINANTES

Expresión Algebraica de un Vector

Un Vector V en el plano xy, corresponde a una pareja ordenada de la forma (a,b)

VECTOR

Norma de un Vector

Un Vector V = (a,b) y la denotamos ||V||como ||V||es igual a la raíz cuadrada de a+b elevada a la 2.

Geométricamente ||V||es la distancia que hay del punto (0,0) al punto (a,b).

Ángulos Directores

Se les llama as, a cada uno de los ángulos A,B y Y que forman con los ejes coordenados x,y,z

Vectores Unitarios

Es aquel que puede tener cualquier dirección pero su módulo es Unidad.

Para obtener un Vector Unitario a partir de un vector dado (a), solo es dividir éste entre su módulo

Propiedades de los Vectores

Operaciones básicas con vectores

Vectores Canónicos

Producto Punto

Producto Cruz

Igualdad de dos vectores

Suma de Vectores

Resta de Vectores

Se dice que dos vectores son iguales siempre y cuando su magnitud, dirección y sentido también sean iguales.

Un vector es negativo si éste tiene la misma magnitud y dirección, pero su sentido es contrario.

Solamente se pueden sumar dos o más vectores si tienen las mismas unidades de medida. Así también las magnitudes escalares no se pueden sumar si no tienen las mismas unidades.

Son aquellas que tienen un modulo igualdad a la unidad y que son paralelos a un eje de coordenada en particular. Son fundamentales en las operaciones Vectoriales.

Ejemplo:

V(0,0,1)

V(0,1,0)

V(1,0,0)

Es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores. Ej:

U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2)

El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K

K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores.

Para sacar la magnitud del producto punto de los vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz.

Para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la división del producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores.

Θ = Cos^-1 [U.V(Producto Punto) / |U||V|

Es el determinante de la matriz que se genera por los dos vectores con la primer linea, como resultado tendremos un vector y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes. El producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión.

MATRIZ

Tipos:

Matriz fila: matriz que solo tiene una fila

Matriz columna: matriz que solo tiene una columna

Matriz nula: todos sus elementos valen cero

Matriz Cuadrada: Igual número de filas que de columnas

Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica cuando los elementos a ambos lados de la diagonal principal son iguales.

Matriz antisimétrica: matriz cuadrada en la que los elementos a ambos lados de la diagonal principal son opuestos

Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero.

Matriz escalar: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero y los elementos de la diagonal principal son iguales

Matriz identidad o unidad: matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son unos y el resto ceros.

Matriz triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero.

Matriz triangular inferior: todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.

Operaciones con Matrices

Suma

Resta

Multiplicación

División

La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.

En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices.

Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.

La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.

Matriz Inversa

Una matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta.

DETERMINANTES

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A elevado a t, son iguales.

|A|=0 si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.