NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES

1. Los números reales son el conjunto de números sobre los que estudian las matemáticas, ya que son todos los números que pueden ser representados en una recta numérica

   • SUBCONJUNTOS
     • NÚMEROS ENTEROS
       • Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales, sus opuestos y el cero.​
         • PROPIEDADES
           • En la suma. Para todo a,b,c números enteros. Asociativa: a+b(b+c)=(a+b)+c. Conmutativa: a+b=b+a. Existencia del elemento neutro: a+0=0+a=a. Existencia del inverso aditivo: a+(-a)=0 .
             • en la multiplicación. para todo a,b,c numeros enteros. Asociativa: a(bc)=(ab)+c. Conmutativa: ab=ba. Existencia del elemento neutro: a1=1a=a
               • CARACTERISTICAS
                 • El conjunto de números enteros está formado por los enteros positivos, negativos, y el cero. No tienen decimal. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto de números es Z. El cero en el conjunto de números Z se considera como un número neutro. Los números enteros no pueden dividirse a menos que la división sea exacta.
     • NÚMEROS RACIONALES
       • Es el conjunto formado por enteros y cocientes enteros.
         • PROPIEDADES
           • Q=[a/b I a,b E z; b≠0]
             • con las operaciones suma y multiplicación.
             • Para todo a,b,c números racionales.
               • ASOCIATIVAS: si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.
                 • a(bc)=(ab)c
                   • CONMUTATIVA: donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia.
                     • a+b=b+a
                       • EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO: el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.
                         • a/b+0=a/b
                           • INVERSOS ADITIVOS Y MULTIPLICATIVOS: El aditivo es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero, tal que a+(-a)=0. El multiplicativo es el cual al multiplicarlo por dicho número da la unidad, tal que a(1/a)=1.
                             • DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA SUMA: al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos.
                               • a/b×(c/d+e/f)=a/b×c/d+a/b×e/f
                                 • CARACTERISTICAS
                                   • Es un conjunto infinito.
                                     • Entre dos números racionales existe siempre infinitos números racionales, por tal motivo se dice que este conjunto es denso.
                                       • No tiene ni primer ni último elemento.
                               • EJEMPLO
                                 • 1/2*(3/4+2/3)=1/2*(17/12)=17/24
                                   • (1/2*3/4)+(1/2*2/3)=(3/8)+(1/3)=17/24
                             • EJEMPLO
                               • aditivo: 5/6-5/6=0
                                 • multiplicativo: 2*(1/2)=1
                         • EJEMPLO
                           • 5/6+0=5/6
                     • EJEMPLO
                       • 5/7+3/2=31/14
                         • 3/2+5/7=31/14
                 • a+(b+c)=(a+b)+c.
                   • EJEMPLO
                     • (1/3+3/4)+1/6=13/12+1/6=15/12=5/4.
                       • 1/3+(3/4+1/6)=1/3+11/12=15/12=5/4
       • DECIMALES
         • pueden ser
           • EXACTO
             • Aquellos con un número de decimales determinados y finitos.
               • CONVERTIR DE DECIMAL A FRACCIÓN
                 • Primero, ponemos de denominador de decimal el 1. Luego tenemos que multiplicar numerador y denominador por un múltiplo de 10 que contenga tantos ceros como cifras decimales haya.
                   • EJEMPLO
                     • 0,25/1
                       • 0.25*100/1*100=25/100=1/4
           • PERIODICO
             • Un número decimal periódico es un número racional con parte fraccionaria caracterizado por tener un período en su expansión decimal
               • CONVERTIR DE DECIMAL A FRACCIÓN
                 • En el numerador, se escribe primero el número decimal sin coma y se le resta la parte que está fuera del periodo, también sin coma, es decir la parte entera unida a los decimales que se quedan fuera del periodo. El número del denominador estará formado tantos 9 como cifras tenga el periodo, seguido de tantos 0 como cifras decimales halla fuera del periodo.
                   • EJEMPLO
                     • 7,21 5=73215-7321/900=65894/900=32947/450
           • MIXTO
             • Un número decimal periódico mixto es aquel cuya parte decimal está formada por un periodo (cifras que se repiten indefinidamente) y un anteperiodo que le precede (cifras que no se repiten)
               • CONVERTIR DE DECIMAL A FRACCIÓN
                 • Se divide el numerador por el denominador, si el cociente es exacto, éste representa los enteros; si no es exacto, se forma una fracción con el residuo que se pone como numerador y el divisor que se pone como denominador
                   • EJEMPLO
                     • 4 3/5
                       • Se multiplica el entero 4 por el denominador 5
                         • 4*5=20,sele suma el numerador 3, 20+3=23, a este resultado se le pone el denominador 5.
     • NuMEROS NATURALES
       • Fuero creados por la mente humana para contar los objetos en diversas colecciones.
         • PROPIEDADES
           • - Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, para todo a,b E N
             • a>b ó a<b ó a=b.
               • -Entre dos números naturales, existe un número finito de números naturales. así podemos decir que N es un conjunto discreto.
                 • -0 es el primer elemento y N no tiene último elemento.
                   • -Para todo a E N; a≠0
                     • a-1 es el antecesor de a y a+1 es el sucesor de a.
                       • EJEMPLO
                         • 10=antecesor de 11.
                           • 12= sucesor de 11.
                       • -En los naturales son siempre posibles la sume, multipicación y potenciación.
                         • CARACTERISTICAS
                           • -Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número natural.
                             • -La función de los números naturales es la de contar y ordenar.
             • EJEMPLO
               • 20>3; 1<5; 4=4
     • NÚMEROS IRRACIONALES
       • Un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción.
         • PROPIEDADES
           • PROPIEDAD CONMUTATIVA: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado.
             • PROPIEDAD ASOCIATIVA: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación.
               • PROPIEDAD ASOCIATIVA: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación.
                 • CARACTERISTICAS
                   • El conjunto de los números irracionales no verifica clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional.
                     • Todos los irracionales son números reales.