MATRICES Y DETERMINANTES

¿ Qué son?
1. Una matriz de m fila y n columnas es una tabla de m x n números reales ordenados en m filas y n columnas
  1. Al número real de una matriz "a" se le añaden los subíndices i y j, representando i la el n de la fila, y j el n de la columna
Productos de matrices
1. El producto de una matriz A, de dimensión m x n, por otra matriz B, de dimensión n x p, es otra matriz , C, de dimensión m x p, cuyo elemento cij se obtiene al multiplicar la fila i-ésima de la peimera matriz poe la columna j-ésima de la segunda.
  1. A*B =C, siendo cij= ai1* b1j+ aj2* b2j+...+ aim* bmj
Propiedades del producto de matrices
1. Asociativa: (A*B) * C = A*(B*C)
  1. Elemento Neutro: Im * A = A * In = A
    1. Distributiva
      1. Por la Izquierda: A* (B+C) = A * B +A * C
      2. Por la Derecha: ( B + C) * A = B * A + C * A
La regla de sarrus para calcular el determinante
1. dada la matriz 2x2
  1. a b c d
    1. hacemos a*d - d*c
    2. dada la matriz 3x3
      1. a b c d e f g h i
        hacemos: a*e*i + b*f*g + d*h*c - c*e*g + d*b*i + a*h*f
El rango de una matriz
1. El rango de una matriz A al número de filas o columnas linealmente independientes.
  1. Se puede calcular a través de Gauss o por determinantes
    1. A través de Gauss convertimos la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando las transformaciones elementales adecuadas
Matriz inversa
1. A ^- 1 = 1/A * Adj(A)^ t
  1. Sirve para identificar S.C.I
    1. La matriz adjunta es aquella que cada elemento se sustituye por el adjunto, el e. Adjunto es aquel elemento a (ij) al menor complementario anteponiend. El signo es + si i+j es par
Peopiedades de los determinantes
1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta
  1. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas o columnas el determinante cambia de signo
    1. Si en una matriz cuadrada multiplicamos poe un mismo número todos los elementos de una misma fila o columna, su determinante queda multiplicado por ese número
      1. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, su determinante = 0
        Si una fila o columna de una matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las demás , su determinante no varia
        Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero
        Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna que es combinación lineal de las demás, su determinante es 0
        El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes
Matriz traspuesta
1. La matriz traspuesta se representa como A ^t, si la matriz A es de dimensión m x n, la matriz traspuesta A^t tendrá de dimensiones n x m, ya que las columnas pasan a ser filas y las filas pasan ha ser columnas incluyendo sus valores
2. Una matriz es simétrica cuando A = A^t y una matriz es antisimétrica cuando A =/= A ^t
¿Qué tipos hay?
1. Matriz fila: aquella que tiene una sola fila
2. Matriz nula/ cero: Todos los elementos de la matriz son ceros
  1. Matriz columna. aquella que tiene una sola columna
3. Matriz Rectangular sus dimensiones (n x m) son diferentes entre sí.
4. Matriz cuadrada: Aquella matriz que sus dimensiones son n x n, es decir el número de columnas es el mismo que el de fila
  1. Tipos de matrices cuadradas
    1. Matriz triangular superior: Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero
    2. Matriz triangular inferior: Todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros
    3. Matriz diagonal.: Todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero
    4. Matriz de identidad / Unidad: La diagonal principal vale 1 y el resto de valores 0
Sus propiedades
1. Conmutativa: A+ B = B + A
2. Asociativa: A + ( B + C) = ( A + B) + C
3. Elemento neutro: El elemento neutro del a suma es la matriz nula: A + 0 = A
4. Elemento opuesto: Para la matriz A, existe su matriz opuesta, -A, formada por los opuestos de los elementos de A
Producto de una matriz por número
1. El producto de un número real K por una matriz A esotra matriz de la misma dimensión que A cuyos elementos se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de A por K
  1. Si una matriz es diagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales podemos sacar factor común
Integrantes: Leorianny Useche 19 Roimar Ollarvides 28 5to "C"

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