La derivada de funciones de ℝ en ℝn

La derivada de funciones de ℝ en ℝn

1. Geometría y movimiento

   • Curvas
     • Rectas
       • Se obtienen como la imagen de una función de ℝ en ℝ²
     • Cónicas
   • Sea C ⊂ ℝn. Si existe γ = (γ1, . . . , γn) : I ⊂ ℝ → ℝ n tal que γ(I) = C decimos que γ es una parametrización de C.
     • Las identidades
       • x1 = γ1(t), x2 = γ2(t),...,xn = γn(t)
         • Son unas ecuaciones paramétricas de C.
     • Si un subconjunto C ⊂ ℝn tiene una parametrización, entonces con base en ella podemos obtener más parametrizaciones del mismo conjunto.
       • Con esto decimos que
         • x = r cos(t); y = r sen(t)

2. Derivada y geometría

   • Teorema del Valor Medio
     • No se cumple en general en funciones de ℝ a ℝn.
   • Sea γ : [a, b] ⊂ R → R n tal que ||γ ′ (t)|| es integrable en [a, b]. Definimos la longitud de γ (que denotamos por l(γ)) como
   • Sean C ⊂ R n una curva y γ : I ⊂ R → R n una parametrizaci´on (derivable) de C. Decimos que γ˜ : J ⊂ R → R n, una funci´on derivable, es una reparametrizaci´on de γ si existe α : J ⊂ R → R derivable, tal que α(J) = I y γ˜(s) = (γ ◦ α)(s) para toda s ∈ J
     • Si α ′ (s) ≥ 0 para toda s ∈ J, decimos que γ˜ preserva la orientación de γ, y si α ′ (s) ≤ 0 para toda s ∈ J, decimos que γ˜ invierte la orientación de γ.
       • Dada una parametrización γ : [a, b] ⊂ ℝ → ℝn de una curva C ⊂ ℝn, una reparametrización de γ que siempre se puede construir es la que se obtiene a partir de la función α : [a, b] → [a, b] dada por α(t) = a+b−t.
   • Reparametrización por longitud de arco ˜γ de una curva suave C
     • Rapidez con que la “recorre”
       • A la parametrización ˜γ le bastaría con “recorrer” una “unidad de distancia” sobre C por cada “unidad de distancia” que “recorra” el parámetro s, lo que en términos de rapidez, significa que ésta última tendría que valer 1.
         • Sea C ⊂ ℝn una curva y γ : I ⊂ ℝ → ℝn una parametrizaci´on (derivable) de C. Decimos que γ es una parametrizaci´on por longitud de arco de C si ||γ ′ (t)|| = 1 para toda t ∈ I.
   • Sea C ⊂ R n una curva suave. Si γ : I ⊂ R → R n es una parametrizaci´on de C tal que γ ′ (t) es continua y diferente de ˆ0 para toda t ∈ I, entonces C tiene una parametrizaci´on por longitud de arco.
   • γ ′′(s) siempre es perpendicular a γ ′ (s), la manera en que (valga la redundancia) se “curva” la curva C, deberá estar contenida en la norma de γ ′′(s).
   • Sea γ : I ⊂ ℝ → ℝn una parametrización por longitud de arco de una curva C ⊂ ℝn tal que γ ′′(s) existe para cada s ∈ I. Definimos la curvatura de C en el punto γ(s) ∈ C, que denotamos por k(s), como
   • Sea C ⊂ R n. Decimos que C es una curva si existe γ : I ⊂ R → R n derivable en el intervalo I tal que γ(I) = C
     • Si además γ ′ (t) =/= (0) para toda t ∈ I decimos que C es una curva suave (o regular).
   • Sea γ : I ⊂ R → R n una parametrización por longitud de arco de una curva C ⊂ R n tal que γ ′′(s) existe para toda s ∈ I
   • Sea γ : I ⊂ R → R n una parametrizaci´on por longitud de arco de una curva suave C ⊂ R n. Si γ ′′(s) existe y es diferente de ˆ0, entonces
     • T ′ (s) = k(s)N(s).
   • Sea γ : I ⊂ R → R 3 una parametrizaci´on por longitud de arco de una curva suave C ⊂ R 3 . Si para s ∈ I se tiene que B′ (s) existe, entonces B′ (s) es un m´ultiplo escalar de N(s).
   • Sea γ : I ⊂ R → R 3 una parametrizaci´on por longitud de arco de una curva suave C ⊂ R 3 . Si para s ∈ I se tiene que B′ (s) existe
     • Definimos la torsión de la curva C en el punto γ(s), que denotamos por τ(s), como el número real tal que B ′ (s) = −τ(s)N(s).
   • Sea γ : I ⊂ R → R 3 una parametrizaci´on por longitud de arco de una curva suave C ⊂ R 3 . Si para s ∈ I se tiene que N′ (s) existe, entonces
     • • Las identidades

3. Derivada

   • Dada una función γ : I ⊂ ℝ → ℝn con la cual “describimos” a un conjunto C ⊂ ℝn.
     • Debemos encontrar la “recta tangente” a C en un punto ˆx_0.
       • Si t_0 ∈ I es tal que γ(t_0) = ˆx_0 y t ∈ I es “cercano” a t_0, ver a la diferencia entre:
         • γ(t) − γ(t_0)
           • como una “flecha” nos da la oportunidad de obtener la recta que pasa por x_0 y que sigue la dirección determinada por γ(t) − γ(t_0) suponiendo, por supuesto, que esta flecha no es el vector 0.
   • Sea γ : I ⊂ R → R n, con I un intervalo. Dado t_0 ∈ I, decimos que γ es derivable en t_0 si
     • existe
       • Lo denotamos por γ ′ (t_0) y lo llamamos la derivada de γ en t_0. Es decir:
   • Sea C ⊂ ℝn y x_0 ∈ C. Si γ : I ⊂ ℝ → ℝn es una parametrización de C tal que γ(t_0) = x_0 para alguna t_0 ∈ I y γ ′ (t_0) 6= 0, decimos que la recta definida (paramétricamente) como
     • • es la recta tangente a C en x_0.
         • A pesar de que exista una parametrización γ : I ⊂ ℝ → ℝn de C tal que γ(t_0) = x_0 y γ sea derivable en t_0, nada nos garantiza que se satisfaga la condición de que γ ′ (t_0) =/= (0)

4. Propiedades de la derivada

   • Sea γ = (γ1, . . . , γn) : I ⊂ ℝ → ℝn y t0 ∈ I.
     • La función γ es derivable en t_0 si y sólo si cada función coordenada γ_i es derivable en t_0, para i ∈ {1, . . . , n}
   • Sean γ, γ˜ : ⊂ ℝ → ℝn, t0 ∈ I y h : I ⊂ ℝ → ℝ. Si las funciones γ, γ˜ y h son derivables en t_0, entonces:
     • 1. γ + ˜γ es derivable en t_0 y además
       • (γ + ˜γ) ′ (t_0) = γ ′ (t_0) + ˜γ ′ (t_0)
     • 2. hγ es derivable en t_0 y además
       • (hγ) ′ (t_0) = h ′ (t_0)γ(t_0) + h(t_0)γ ′ (t_0)
         • En particular, si h es la función constante c, entonces
           • (cγ) ′ (t_0) = cγ′ (t_0)
     • 4. si n = 3, γ × γ˜ es derivable en t_0 y además
       • (γ × γ˜) ′ (t_0) = γ ′ (t_0) × γ˜(t_0) + γ(t_0) × γ˜ ′ (t_0)
     • 3. γ · γ˜ : I ⊂ R → R es derivable en t0 y adem´as
       • (γ · γ˜) ′ (t_0) = γ ′ (t_0) · γ˜(t_0) + γ(t_0) · γ˜ ′ (t_0)
   • Sean J ⊂ R un intervalo, h : J ⊂ R → R, γ : I ⊂ R → R n, t0 ∈ I y x0 ∈ J tales que h(J) ⊂ I y h(x0) = t0. Si h es derivable en x0 y γ es derivable en t0, entonces γ ◦ h es derivable en x0 y adem´as
     • (γ ◦ h) ′ (x_0) = γ ′ (h(x_0))h ′ (x_0) = γ ′ (t_0)h ′ (x_0).
   • Sean γ : I ⊂ R → R n derivable para cada t del intervalo J ⊂ I, y n ∈ N. Si γ (1)(t) := γ ′ (t) y γ (n) est´a definida y es derivable para cada t ∈ J, definimos (inductivamente) la n + 1 derivada de γ en t, que denotamos por γ (n+1)(t), como
     • • Para cada t ∈ J
   • Sean γ : I ⊂ ℝ → ℝn y t_0 ∈ I. Si γ es derivable en t_0, entonces γ es continua en t_0

5. Derivada y movimiento

   • Sea γ : I ⊂ R → R n tal que T (t) existe para toda t ∈ I. Si T ′ (t) 6= ˆ0, entonces
     • γ ′′(t) = r ′ (t)T (t) + r 2 (t)k(t)N(t)
       • en donde k(t) es la curvatura (de la curva descrita por γ) en el punto γ(t).
   • la direcci´on “tangente” nos la proporciona el vector γ ′ (t) de tal forma que, si hacemos (bajo el supuesto de que γ ′ (t) 6= ˆ0 para toda t ∈ I)
     • • entonces T (t) es un vector en la dirección “tangente” cuya norma es constante uno
         • T ′ (t) es perpendicular a T (t) de modo que T ′ (t) nos proporcionará la dirección “normal” al movimiento.
   • Si un objeto de masa m se mueve debido a la acción de un campo de fuerzas gravitatorias (determinadas por otro objeto de masa M), entonces el movimiento del objeto de masa m satisface la Segunda Ley de Kepler, es decir, el vector de posición del objeto “barre” áreas iguales en tiempos iguales.

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