La derivada de funciones de R en Rn

La derivada de funciones de R en Rn

1. Geometría y movimiento

   • si un subconjunto C ⊂ Rn tiene una parametrizacíon, entonces con base en ella podemos obtener más parametrizaciones del mismo conjunto. Por esta misma razón, lo más adecuado es decir que
     • x = r cos(t) y = r sen(t)
       • para t ∈ [0, 2π), son “unas” ecuaciones paramétricas de la circunferencia de radio r > 0 con centro en el origen
     • x = r sen(2πt) y = r cos(2πt)
       • para t ∈ [0, 1), son “otras” ecuaciones paramétricas de la misma circunferencia.
   • si f : I ⊂ R → R, sabemos que la gráfica de f es un subconjunto de R2 definido como
     • • es muy fácil comprobar que la función γ: I ⊂ R → R2 dada por (t) = (t, f(t)) es una parametrización de Gf .
   • las funciones de R en Rn resultan ser una herramienta adecuada para describir el “camino” o “trayectoria” seguido por un objeto.
     • Suponga que se tiene una rueda, la cual vamos a rodar (sin resbalar) en línea recta y sobre una superficie plana, y sobre dicha rueda hacemos una marca. Nuestro objetivo es encontrar una función que nos proporcione la posición (una vez establecido un sistema cartesiano de referencia) de dicha marca, conforme la rueda va girando. Para ello, simplificaremos el problema sustituyendo la rueda por una circunferencia de radio r > 0, y a la marca por un punto P de dicha circunferencia. Supondremos que la posición “inicial” de la circunferencia es tal que su centro C se encuentra en el punto de coordenadas (0, r) y que las correspondientes al punto P están dadas por (0, 2r)
       • una vez que la circunferencia haya rodado una cierta distancia (que supondremos fue pequeña), el punto P, cuyo movimiento nos interesa describir, ocupará una nueva posición; las coordenadas de esta nueva posición las vamos a determinar usando el ángulo formado por la semirecta (paralela al eje Y ) que parte del centro de la circuferencia (en dirección hacia arriba), y el segmento de recta que une al centro C con el punto P, ángulo que denotaremos por la letra γ y que de acuerdo a la observación que hicimos antes, jugará el papel de parámetro

2. La derivada

   • Dada una funci´on : I ⊂ R → Rn con la cual “describimos” a un conjunto C ⊂ Rn. encontrar la “recta tangente” a C en un punto ˆx0. Si t0 ∈ I es tal que γ(t0) = ˆx0 y t ∈ I es “cercano” a t0, ver a la diferencia γ(t) − γ(t0), como una “flecha” da oportunidad de obtener la recta que pasa por ˆx0 y sigue la dirección determinada por γ(t) − γ(t0), suponiendo que no es el vector ˆ0.
     • • Si γ(t) − γ(t0) no es el vector ˆ0, la recta que pasa por el punto (t0), es una recta secante a la curva C que tiende a ser tangente en γ(t0) si t tiende a t0.
   • Definición 3.2 Sea γ: I ⊂ R → Rn, con I un intervalo. Dado t0 ∈ I, decimos que es derivable en t0 si existe
     • • lo denotamos por γ′(t0) y lo llamamos la derivada de en t0. Es decir,
     • es importante señalar que en caso de que t0 ∈ I fuera un “extremo” de I, el límite que se deberá tomar será el correspondiente límite lateral.
   • Definición 3.4 Sea C ⊂ Rn y ˆx0 ∈ C. Si γ: I ⊂ R → Rn es una parametrización de C tal que γ(t0) = ˆx0 para alguna t0 ∈ I y γ′(t0) ≠ ˆ0, decimos que la recta definida (paramétricamente) como R(t) := γ(t0) + t γ′(t0), es la recta tangente a C en ˆx0.
     • A pesar de que exista una parametrización γ: I ⊂ R → Rn de C tal que γ(t0) = ˆx0 y γ sea derivable en t0, nada garantiza que se satisfaga la condición de que γ′(t0) ≠ ˆ0.
   • Ejemplos

3. Propiedades de la derivada

   • Proposición 3.8. Sea γ= ( γ1, . . . , γn) : I ⊂ R → Rn y t0 ∈ I. La función γ es derivable en t0 si y sólo si cada función coordenada γi es derivable en t0, para i ∈ {1, . . . , n}. En ambos casos se tiene que γ′(t0) = ( γ′1(t0), . . . , γ′n (t0)).
   • Proposición 3.9 Sean γ, γ˜ : I ⊂ R → Rn, t0 ∈ I y h : I ⊂ R → R. Si las funciones γ, γ˜ y h son derivables en t0, entonces:
     • γ + γ˜ es derivable en t0 y además
     • hγ es derivable en t0 y además
       • • En particular, si h es la función constante c, entonces
     • γ· γ˜ : I ⊂ R → R es derivable en t0 y además
     • si n = 3, γ× γ˜ es derivable en t0 y además
   • Proposición 3.10 Sean J ⊂ R un intervalo, h : J ⊂ R → R,γ : I ⊂ R → Rn, t0 ∈ I y x0 ∈ J tales que h(J) ⊂ I y h(x0) = t0. Si h es derivable en x0 y γ es derivable en t0, entonces γ ◦ h es derivable en x0 y además ( γ◦ h)′(x0) = γ′(h(x0))h′(x0) = γ′(t0)h′(x0).
   • Proposición 3.11 Sean γ: I ⊂ R → Rn y t0 ∈ I. Si γ es derivable en t0, entonces γ es continua en t0.
   • Definición 3.13 Sean γ : I ⊂ R → Rn derivable para cada t del intervalo J ⊂ I, y n ∈ N. Si γ^(1)(t) := γ′(t) y (n) está definida y es derivable para cada t ∈ J, definimos (inductivamente) la n + 1 derivada de γ en t, que denotamos por γ^(n+1)(t), como
     • para cada t ∈ J.

4. Derivada y geometría

   • Definición 3.14 Sea C ⊂ Rn. Decimos que C es una curva si existe γ: I ⊂ R → Rn derivable en el intervalo I tal que γ(I) = C. Si además γ′(t) ≠ ˆ0 para toda t ∈ I decimos que C es una curva suave (o regular).
   • Definición 3.16 Sea γ: [a, b] ⊂ R → Rn tal que ||γ ′(t)|| es integrable en [a, b]. Definimos la longitud de γ (que denotamos por l(γ )) como
   • Definición 3.17 Sean C ⊂ Rn una curva y γ: I ⊂ R → Rn una parametrización (derivable) de C. Decimos que γ˜ : J ⊂ R → Rn, una funci´on derivable, es una reparametrización de γ si existe α : J ⊂ R → R derivable, tal que α(J) = I y γ˜ (s) = ( γ◦ α)(s) para toda s ∈ J. Si α′(s) ≥ 0 para toda s ∈ J, decimos que γ˜ preserva la orientación de γ, y si α′(s) ≤ 0 para toda s ∈ J, decimos que γ˜ invierte la orientación de γ.
   • Definición 3.18 Sea C ⊂ Rn una curva y γ: I ⊂ R → Rn una parametrización (derivable) de C. Decimos que es una parametrización por longitud de arco de C si ||γ ′(t)|| = 1 para toda t ∈ I.
   • Proposición 3.19 Sea C ⊂ Rn una curva suave. Si γ: I ⊂ R → Rn es una parametrización de C tal que γ′(t) es continua y diferente de ˆ0 para toda t ∈ I, entonces C tiene una parametrización por longitud de arco.
   • Definición 3.22 Sea γ: I ⊂ R → Rn una parametrización por longitud de arco de una curva C ⊂ Rn tal que γ′′(s) existe para cada s ∈ I. Definimos la curvatura de C en el punto (s) ∈ C, que denotamos por k(s), como
   • Definición 3.23 Sea γ: I ⊂ R → Rn una parametrización por longitud de arco de una curva C ⊂ Rn tal que γ′′(s) existe para toda s ∈ I.
   • Proposición 3.25 Sea γ: I ⊂ R → Rn una parametrización por longitud de arco de una curva suave C ⊂ Rn. Si γ′′(s) existe y es diferente de ˆ0, entonces
   • Proposición 3.26 Sea γ: I ⊂ R → R3 una parametrización por longitud de arco de una curva suave C ⊂ R3. Si para s ∈ I se tiene que B′(s) existe, entonces B′(s) es un múltiplo escalar de N(s).
   • Definición 3.27 Sea γ: I ⊂ R → R3 una parametrización por longitud de arco de una curva suave C ⊂ R3. Si para s ∈ I se tiene que B′(s) existe, definimos la torsión de la curva C en el punto γ(s), que denotamos por τ(s), como el número real tal que
   • Proposición 3.29 Sea γ: I ⊂ R → R3 una parametrización por longitud de arco de una curva suave C ⊂ R3. Si para s ∈ I se tiene que N′(s) existe, entonces

5. Derivada y movimiento

   • Proposición 3.30 Sea γ: I ⊂ R → Rn tal que T (t) existe para toda t ∈ I. Si T ′(t) 6= ˆ0, entonces γ′′(t) = r′(t)T (t) + r^2(t)k(t)N(t), en donde k(t) es la curvatura (de la curva descrita por γ) en el punto (t).
   • Ley de la Gravitación Universal
     • La magnitud F de la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas m1 y m2 que están separados por una distancia r es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia, es decir, que
       • • si el centro de masa de cada uno de los cuerpos de masa m1 y m2 está ubicado en el punto ˆx1 y ˆx2 respectivamente, y suponemos que m2 > m1, entonces la fuerza de atracción ˆ F que ejerce el objeto de masa m2 sobre el objeto de masa m1 estará dada por
   • Segunda ley del movimiento
     • si un objeto de masa m se mueve debido a la acción de un campo de fuerzas, entonces la fuerza ejercida sobre el objeto también se puede obtener multiplicando la masa del objeto por su aceleración en dicho instante. Es decir, si γ: I ⊂ R → R3 es la función que nos asocia la posición del objeto en cada instante t, y denotamos por ˆ F( γ(t)) la fuerza ejercida sobre éste en la posición γ(t), entonces
   • Proposición 3.31 Si un objeto de masa m se mueve debido a la acción de un campo de fuerzas gravitatorias (determinadas por otro objeto de masa M que está fijo), entonces el movimiento del primer objeto se lleva a cabo sobre un plano fijo (al que también pertenece el objeto de masa M).
   • Proposición 3.32 Si un objeto de masa m se mueve debido a la acción de un campo de fuerzas gravitatorias (determinadas por otro objeto de masa M), entonces el movimiento del objeto de masa m satisface la Segunda Ley de Kepler, es decir, el vector de posición del objeto “barre” áreas iguales en tiempos iguales.

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