FUNCIONES LINEALES

FUNCIONES LINEALES

1. A. Definición y ejemplos.

   • Una función f es lineal si se puede expresar en la forma f (x) = mx + b donde m y b son constantes y x es un miembro arbitrario de la dominio de f. A menudo, la relación entre dos variables x y y es una función lineal expresada como una ecuación y = mx + b.
     • EJEMPLOS
       • 1. Sea F el Fahrenheit temperatura y C el Celsius temperatura de un objeto. F y C están relacionados por Por tanto, F es una función lineal de C con m = 9/5 y b= 32.
       • Sea v la velocidad descendente de un cuerpo que cae libremente cerca de la superficie de la Luna bajo la influencia de la gravedad y sea t el tiempo que ha caído. Sea v0 la velocidad que se le imparte inicialmente. Luego Por tanto, v es una función lineal de t con m = g, la aceleración debida a la gravedad cerca del superficie de la Luna, y b = v0.
       • 2. Suponga que coloca P dólares en una cuenta de ahorros que genera un interés simple a una tasa de r. Después del tiempo t, el valor de la cuenta de ahorros será

2. B. Cambio y tasa de Cambio

   • Sea f una función cuyo dominio es un conjunto de números. Si x1 y x2 son miembros distintos del dominio, el cambio (o incremento) en f de x1 a x2 es el número f (x2) - f (x1). La tasa de cambio de x1 a x2 es A veces, el cambio en el valor de la variable independiente x se denota por Δx y el cambio correspondiente en el valor de la función se denota por Δf. Usando esta notación abreviada, la tasa de cambio es Δf / Δx
     • Por tanto, el parámetro m en la fórmula general para La función lineal tiene un significado importante. Es la tasa de cambio constante de la función. Lo contrario también es cierto. Si una función tiene una constante tasa de cambio, entonces es lineal. El parámetro b es el valor de la función cuando x = 0.
       • Si sabe que una función es lineal y también conoce su cambio en un intervalo particular, entonces puede encontrar fácilmente su cambio en cualquier otro intervalo.
     • EJEMPLO
       • La cantidad de dinero que recibe una escuela por su programa de almuerzos gratuitos es una función lineal del número de estudiantes en desventaja económica matriculados en la escuela. El año pasado, la escuela tuvo 50 e.d. menos estudiantes que en el año anterior y su financiación se redujo en $ 35000. Este año, habrá 30 e.d. estudiantes mas que el año pasado. ¿Cuánto cambiará la financiación del año pasado a este año?
         • solución
           • Entre el año anterior al pasado y el año pasado, el cambio en el número de e.d. estudiantes fue ∆x = -50 y el cambio correspondiente en el valor del financiamiento fue ∆f = - 35000. Por lo tanto, la tasa de cambio de la función es -3500 / -50 = 700 Es decir, la escuela obtiene 700 dólares adicionales por cada e.d. adicional estudiante matricula. Desde el año pasado hasta este año, el valor de ∆x es 30. Dado que ∆f ∆x = m = 700, ∆f = m∆x = 700 (30) = $ 21 000. Por lo tanto, la financiación de la escuela se incrementará en $ 21,000 este año.

3. C. Gráficas de funciones lineales: rectas líneas

   • Si las variables x y y están relacionadas por un función lineal y = mx + by la gráfica de esta ecuación se traza en un sistema de coordenadas rectangulares, el resultado será una línea recta. Si la variable x es por su naturaleza restringida a algún subconjunto del sistema de números reales, el dominio de la función es ese subconjunto, y el gráfico de la función podría ser sólo un parte de una línea recta. Por simplicidad ignorará esa posibilidad y considerará el dominio de una función lineal es el todo el sistema de números reales.
     • The equation y = mx + b is the slope-intercept form of the equation of a straight line. Any non-vertical line in the Cartesian plane has an equation of this form. That is, every non-vertical line is the graph of a linear function. The rate of change m is the slope of the line, or the tangent of the angle from the x-axis to the line. The parameter b is the yintercept, i.e. the height of the graph where it crosses the vertical line x = 0. This is illustrated in the figure below.
       • Algunos casos especiales merecen mención. Si la tasa de cambio de una función lineal es cero, los valores de la la función nunca cambia. Es decir, la función es constante. Además, la pendiente de su gráfico es cero, por lo que el gráfico es una línea horizontal. Si la tasa de cambio es positiva, la función aumenta y la gráfica se inclina hacia arriba a la derecha. Si la tasa de cambio es negativa, la función está disminuyendo y la gráfica se inclina hacia abajo a la derecha. Si dos rectas tienen la misma pendiente, forman el mismo ángulo con el eje x positivo y son paralelos.

4. D. Otras formas de la ecuación de una línea

   • A veces es más conveniente escribir el ecuación de una línea recta en alguna forma otra que la forma pendiente-intersección. En otras palabras, es posible que queramos escribir la fórmula para un lineal funcionar de alguna manera diferente a f (x) = mx + b
   • . La forma punto-pendiente: suponga que se sabe que una recta pasa por el punto con coordenadas (x0, y0) y que tiene pendiente m. Entonces la ecuación de la recta es y = y0 + m (x - x0). Traduciendo al lenguaje de lineal funciones, si se sabe que f (x0) = y0 y la tasa de cambio es m, entonces la función viene dada por la fórmula f (x) = y0 + m (x-x0) Si la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea es y = y0 + m (x - x0), luego, en la forma pendiente-intersección y = mx + b, el parámetro de intersección b es igual ab = y0-mx0. Esto se ve fácilmente recordando que si la línea es la gráfica de f, entonces b = f (0).
     • EJEMPLOS
       • El financiamiento de una escuela para almuerzos gratis y a precio reducido aumenta en $ 700 por cada estudiante adicional en desventaja económica inscrito. El año pasado, 250 e.d. los estudiantes estaban matriculados y el la escuela recaudó $ 250,000. ¿Cuál es la cantidad recaudada si n ¿Están matriculados estudiantes económicamente desfavorecidos?
         • Solución
           • si f (n) denota el financiamiento para n estudiantes, entonces saber que f es una función lineal con una tasa de cambio m = 700 y que f (250) = 250.000. Por lo tanto, una fórmula para f es f (n) = 250.000 + 700 (n - 250). Después de simplificar, obtenemos f (n) = 75,000 + 700n.
   • . La forma simétrica: las formas punto-pendiente y pendiente-intersección de la ecuación de un línea recta son quizás las formas más convenientes de usar cuando la línea es un gráfico de una función lineal. Sin embargo, recuerde que una línea vertical en el plano xy no es la gráfica de una función. La forma simétrica de la ecuación de una línea incluye tanto vertical como líneas no verticales. Es cx + dy = e
     • donde c, d y e son constantes y al menos uno de c y d es diferente de cero. Observe que las constantes c, d y e no son únicas. Por ejemplo, podríamos multiplicar cada uno por 2 y aunque la ecuación sería formalmente diferente, aún representaría lo mismo. línea. Por lo tanto, - x + 3y = 8 y 2x - 6y = −16 son ecuaciones en forma simétrica de la misma línea recta. Si la ecuación de una línea se da en forma pendiente-intersección y = mx + b, entonces una forma de escribir la ecuación en forma simétrica es - mx + y = b. Supongamos, por otro lado, que la ecuación está dada en forma simétrica cx + dy = e y que d ≠ 0.

5. E. Sistema de ecuaciones lineales

   • Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tener más de una desconocida. Su un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x y y) Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada desconocido a cumplir todas las ecuaciones del sistema.
     • Los coeficientes de x y y en los dos las ecuaciones del sistema son a veces dispuestas en una matriz cuadrada llamada matriz de coeficientes.
       • Por las observaciones anteriores, el sistema tiene un solución única si y solo si su determinante es diferente de cero. Además, si el determinante es diferente de cero, el El sistema tendrá una solución única para cualquier elecciones de los términos constantes c1 y c2. Hay varios métodos para encontrar el solución. Uno de ellos es la regla de Cramer:
   • EJEMPLOS
     • Suponga que pone $ 2,000 en una cuenta de ahorros devengar un interés simple del 3% anual. Al mismo tiempo, su socio invierte $ 1,000 en bonos que rinden un 8% anual. ¿En qué momento del futuro las dos inversiones tendrán el mismo valor?
       • Solución
         • Tu valor y el valor de tu pareja en el tiempo t años en el futuro son ambas funciones lineales de t. El tuyo es w (t) 2000 60t y el de tu pareja es w (t) 1000 80t

6. F. Inversiones de funciones lineales

   • Sean x y y variables relacionadas por una función lineal: y = f (x) = mx + b. Normalmente, esta relación se aplica evaluando la función, es decir, usando la fórmula de la función para calcular el valor de y para un valor dado de x. A veces, sin embargo, se da el valor de y y el objetivo es encontrar el valor de x del que proviene y. Si m ≠ 0, hay uno y solo uno de esos valores de x para cualquier valor dado de y. De hecho, podemos resolver simbólicamente para x.
     • EJEMPLOS
       • :1. Sea y = f (x) = −2x - 5. Resolviendo para x en términos de y X=-1/2 (Y+5) = -1/2Y - 5/2
         • Esta ecuación define x como una función lineal de y con una tasa de cambio de -1/2. Esta función lineal se llama inversa de f y se denota por f −1. Las dos ecuaciones y = f (x) y x = f −1 (y) son equivalentes, es decir, tienen el mismo significado y una se satisface siempre que la otra.
       • 2. Invierte $ 20,000 en bonos que se obtienen de manera simple interés a una tasa del 5% anual. Te gustaría tener un horario que le diga cuándo la fortuna acumulada alcanzará varios niveles. ¿Cómo Construirías uno?
         • Solución
           • El valor de su inversión después de t años se da en el Ejemplo 3 anterior. Observe que t no tiene por qué ser un número entero de años. El valor de P es 20.000 y el valor de r es .05. Por tanto, el valor de la inversión después de t años es V = 2,0000(1+ .05t) = 20,000 +1,000t .

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