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Matriz

ALEX PONLUISA Spanish

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Matriz

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- Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas - A las matrices se les nombran con letras mayúsculas: A, B, C,D,F
  - A esta matriz se le define An×m Dependiendo del numero de columnas y filas
  - Tipos de matrices
    - Segun su forma
      - Matriz Fila
        Es de la forma 1 x n
      - Matriz columna
        Es de la forma m × 1
      - Matriz cuadrada
        Tiene el mismo numero de filas y comlumnas nxn
        -El conjunto de los valores de la diagonal se les denomina diagonal principal
        -Y la diagonal que empieza desde el primer numero de la izquierda se denomina diagonal secundaria
      - Matriz traspuesta
        Esta matriz se obtine coambiando las filas por columnas y se reprecenta por At
      - Matriz simétrica
        Una matriz es simétrica cuando su traspuesta es igual ala original A = At
        A la vez si matriz no es cuadrada esta nunca sera simétrica
    - Por sus elementos
      - Matriz nula
        Los elementos que la forman son solo 0
      - Matriz diagonal
        Todos los valores de la matriz son 0 , excepto su diagonal principal que tiene valores
      - Matriz escalar
        Esta es una matriz diagonal pero los elementos de su diagonal son iguales
      - Matriz identidad Id
        Es una Matriz diagonal pero sus elementos de la diagoanal son 1
      - Matriz triangular
        superior
        Los elementos por encimade la diagonal principal son nulos.
        Inferior
        Los elementos por debajo la diagonal principal son nulos.
  - Operaciones con matrices
    - Suma de matrices
      - Los elementos de la misma dimensión se suman con los elemntos de la otra matriz formando unanueva matriz compuesta de la suma de sus elementos
        Propiedades
        Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
        Propiedad conmutativa: A + B = B + A.
        Existencia de elemento neutro: La matriz nula, A + 0 = A
        La existencia de opuesto: La matriz −A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que A + (−A) = 0
      - Diferencia de Matrices
        La diferencia de las matrices A y B se representa por A − B , y se define del siguiente modo:
        A − B := A + (−B) = (aij − bij ).
      - la suma y la diferencia de dos matrices no está definida si sus dimensiones son diferentes
    - Producto de matrices por un número
      - El producto de una matriz por un numero real
        Este numero real se multiplica por cada uno de los elementos de la matriz y asi para formar una nueva matriz
        Propiedades
        Primera propiedad distributiva: α (A + B) = α A + α B.
        Segunda propiedad distributiva: (α + β) A = α A + β A.
        Propiedad asociativa mixta: α (β A) = (α β) A.
        Existencia de elemento neutro: 1 · A = A
        Simplificativas
        . A + C = B + C es equivalente a A = B;
        α A = α B es equivalente a A = B si α 6= 0;
        α A = β A es equivalente a α = β si A 6= 0.
    - Producto de dos matrices
      - Esta se obtiene multiplicando escalarmente la primera fila de la matriz A por la columna de la matriz B y asi sucesivamente hasta tener una nueva matriz
        El producto de matrices verifican las siguientes propiedades
        Propiedad asociativa: Am×n (Bn×p Cp×q) = (Am×n Bn×p) Cp×q.
        El producto de matrices en general no es conmutativo, es decir A B 6= B A
        Existencia de elemento neutro: La matriz identidad Id. Para cualquier matriz cuadrada A de orden n, se tiene que A · Idn = Idn · A = A.
        Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A B = B A = Idn.
        Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A−1
        El producto de matrices es distributivo con respecto de la suma de matrices, es decir A (B + C) = A B + A C.
        Para no equivocarse
        A B = 0 no implica necesariamente que A = 0 o B = 0.
        A B = A C no implica necesariamente que B = C
        (A ± B) 2 no es necesariamente igual a A2 + B2 ± 2 A B.
        (A + B)(A − B) no es necesariamente igual a A2 − B2 .
    - Matriz inversa
      - Una matriz inversa existe si su determinate es DIFERENTE DE 0
        Dada una matriz A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden n tal que
        A B = B A = Idn,
        B es la matriz inversa de A, y se designa por A−1 .
        Una matriz cuadrada que tiene inversa se dice que es regular o inversible y si no tiene inversa es llamada singular
  - Rango de una matriz
    - Dada una Matriz A ∈ Mn×m se define el rango de A como el número de filas o columnas linealmente independientes
      - Proposición si A es una matriz de orden m × n no nula se cumple que
        1 ≤ rg(A) ≤ min{m, n}.
        Cálculo del rango por Gauss
        Se puede suprimir filas o columnas nulas, proporcionales a otras, dependientes de otras y el rango no va a variar
        Tambien se puede realizar las siguientes operaciones y el rango no se vera afectado
        Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.
        . Sumar o restar una fila (o columna) a otra.
        Con estos procesos podremos llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas o columnas linealmente independientes