Teorema de los limites

Teorema de los limites

1. Limites unilaterales

   • Teorema 1
     • Teorema 1 Si el limite existe entonces es único. Sea S un conjunto de números y sea T un subconjunto de S, Sea f(x) una función definida para cada elemento del conjunto, Si: lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=L (Con respecto a S) lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=M (Con respecto a T) Entonces L=M. En otras palabras, el límite es único.
   • Teorema 2
     • Si c es una constante, lim┬(x→a)⁡c⁡= c En la gráfica observaras claramente que cualquier valor, al cual tienda la variable x el limite de la función constante siempre será esta constante. Sea f(X)=8 entonces lim┬(x→2)⁡8=8
   • Teorema 3
     • lim┬(x→a)⁡x⁡= a Sea f(x)=x una variable, entonces lim┬(x→2)⁡x⁡= 2 La simetría de la grafica nos muestra que el límite de la función f(x)=x, cuando la variable x tiende a un valor asignado, siempre será el mismo valor.
   • Teorema 4
     • lim┬(x→a)⁡〖〖[f(x)g(x)]=l〗^± 〗 M El limite lim┬(x→a)⁡[ f(x)±g(x)] existe y se cumple con el siguiente teorema: lim┬(x→2)⁡[ f(x)±g(x)]=lim┬(x→2)⁡(3+x)+lim┬(x→2)⁡3+lim┬(x→2)⁡x=3+2=5 En la grafica podemos observar, que el limite (la ordenada) de la suma de las funciones f(x)+g(x) cuando la variable x tiende al valor 2, es la suma de los limites (las ordenadas) de las funciones f(x) y g(x) cuando el valor de x tiende al mismo valor.
   • Teorema 5
     • lim┬(x→a)⁡〖[f(x)g(x)]=L〗 M Supongamos que las funciones f(x) y g(x) se encuentra definidas, y que existen los limites: lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L y lim┬(x→a)⁡〖g(x)=M〗 〗 El limite lim┬(x→a)⁡〖[f(x)g(x)]〗 Existe y cumple con el siguiente teorema: lim┬(X→a)⁡〖[f(x)g(x)]=(lim┬(X→a)⁡f(x))(lim┬(X→a)⁡〖g(x))〗=LM〗
   • Teorema 6
     • Supongamos que las funciones f(x) y g(x) se encuentra definidas y que g(x) ≠0 para cualquier valor de x, y que existen los limites: lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L y lim┬(x→a)⁡〖g(x)=M〗 〗 Teorema 6: Lim┬(x→a)⁡[ (f(x))/(g(x))]=L/M,si M ≠0 El limite lim┬(x→a)⁡|f(x)/g(x) | Existe y cumple con el siguiente teorema: lim┬(x→a)⁡〖[f(x)/g(x) ]=⁡〖(lim┬(x→a)⁡f (x))/lim┬(x→a)⁡g(x) 〗 〗=L/M Supongamos que tenemos las siguientes funciones f(x)= 2+3x+x2 y g(x)= 2+x. Entonces podemos formar la función f(x)/g(x)=(2+3x+x2)/(2+x)=1+x Utilizando los teoremas antes analizados rápidamente se concluye que: lim┬(x→2)⁡〖f(x)=lim┬(x→2)⁡〖(2+3x+x^2 )=12 y lim┬(x→2)⁡〖g(x)=lim┬(x→2)⁡〖(2+x)=4〗 〗 〗 〗 Entonces se cumple que: lim┬(x→2)⁡〖[f(x)/g(x) ]〗=lim┬(x→2)⁡〖((2+3x+x2)/(2+x))〗=lim┬(x→2)⁡〖2+3x+x^2/lim┬(x→2)⁡〖2+x〗 〗=12/4=3
   • Teorema 7
     • lim┬(x→a)⁡〖cf(x)=cL〗 El limite lim┬(x→a)⁡〖(c*f(X))〗 Existe y se cumple con el siguiente teorema: lim┬(x→a)⁡〖(c*f(x〗))=c(lim┬(x→a)⁡〖f(x))=cL〗
   • Teorema 8
     • Si c es una constante, lim┬(x→a)⁡〖[f(x)〗 ]^n=L^n El limite lim┬(x→a)⁡〖[f(x)]^n 〗 existe y cumple con el siguiente teorema: lim┬(x→a)⁡〖[f(x) ]^n=(lim┬(x→a)⁡〖f(x) )^n=L^n 〗 〗 Supongamos que n=3 y que tenemos la función f(x)=(3/2)x. Entonces podemos formar la función: (f(x) )^n=((3/2)x)^3=(27/8)^3 Mediante la aplicación de los teoremas anteriores se puede rápidamente verificar que: lim┬(x→2)⁡〖f(x)=lim┬(x→2)⁡〖(3x/2)=3〗 〗 Entonces se cumple: lim┬(x→2)⁡[ f(x) ]^3=lim┬(x→2)⁡〖〖((3x/2)〗^3)=〗 (lim┬(x→2)⁡〖((3x/2))^3=〗=3^3=27
   • Teorema 9
     • lim┬(x→a)⁡p (x)=p(a) El limite lim┬(x→a)⁡p(x) Existe y cumple con el siguiente teorema: lim┬(x→a)⁡〖p(x)=p(a)〗 Considérese la siguiente función f(x)=x3+3x2+2x+1, la cual es un polinomio, entonces el limite de esta función cuando la variable x tiende a 2 se puede calcular como sigue: lim┬(→2)⁡〖f(x)=lim┬(→2)⁡〖(x^3+3x^2+2x+1)=lim┬(→2)⁡〖(x^3 )+lim┬(→2)⁡〖(3x^3 )+lim┬(→2)⁡〖(2x)+lim┬(x→2)⁡〖(1)〗 〗 〗 〗 〗 〗 Donde se aplico el teorema que indica, que el limite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones. lim┬(x→2)⁡〖(x^3 )+〗 lim┬(x→2)⁡〖(3x^2)〗+lim┬(x→2)⁡〖(2x)+lim┬(x→2)⁡〖(1)〗=(lim┬(x→2)⁡〖x)^3〗 〗+3*lim┬(x→2)⁡〖(x^2 )+2*lim┬(x→2)⁡〖(x)+1〗 〗 lim┬(x→2)⁡〖(x^3 )+lim┬(x→2)⁡〖(3x^2 )+lim┬(x→2)⁡〖(2x)+lim┬(x→2)⁡〖(1)=(lim┬(x→2)⁡〖(x))^3+〗 3*lim┬(x→2)⁡〖(x^2 )+2*lim┬(x→2)⁡〖(x)+1〗 〗 〗 〗 〗 〗
   • Teorema 10
     • lim┬(x→a)⁡√(f(x))=√L,si L≥0 El limite lim┬(x→a)⁡√(f(x)) existe y cumple con el siguiente teorema: lim┬(x→a)⁡√(f(x))=√(lim┬(x→a)⁡f(x) )=√L Ejemplo: Supongamos que f(x)=1+x+x^2 Entonces se puede formar la función: ⁡√(f(x))=√(1+2x+x^2 ) Encontrar el límite de la raíz cuadrada de la función cuando el valor de la variable x tiende a 2. Mediante la aplicación de lo teoremas anteriores se puede rápidamente verificar que: lim┬(x→2)⁡〖f(x)〗=lim┬(x→2)⁡〖(1+2x+x^2 )=9〗 Y mediante la aplicación del teorema se concluye que: lim┬(x→2)⁡√ 1+2x+x^2=√(lim┬(x→2)⁡(1+2x+x^2 ) )=√9=±3 Las funciones g(x)=1 +x y h(x)=-1 -x son las raíces cuadradas positiva y negativa de la función f(x) cuando la variable x tiende a 2, se debe buscar en las graficas de las funciones g(x) y h(x) cuando el valor de las variables x tiende a 2.
   • Teorema 11
     • lim┬⁡√(n&f(x)=√(n&L)) El limite ∛(f(X) )=∛(-1+3x-3x^2+x^3 ) Encontrar el limite de la raíz cubica de la función cuando el valor de la variable x tiende a 2 . Mediante la aplicación de los teoremas anteriores se puede rápidamente verificar que: lim┬(x→2)⁡∛(-) 1+3x-3x^2+x^3=∛(lim┬(x→2)⁡〖(-1+3x-3x^2+x^3 )=∛(1=1)〗 ) LA función g(x)=-1+x es la raíz cubica (Las otras dos son raíces de la función f(x) se encuentran en el campo de los números complejos) de la función f(x)=-1+3x-3x2+x3, por tanto, el limite de la raíz cubica de la función f(x) cuando la variable tiende a 2.

2. Limites bilaterales

   • En Algunos Fenómenos tienen Mayor relevancia analizar el comportamiento de la variable independiente, en valores previos a alcanzar determinado valor o bien, en valores posteriores, de este modo se tiene la posibilidad de estudiarle a través de limites bilaterales.
     • Limite por la derecha:
       • lim┬(x→a^+ )⁡〖f(X)=L〗 Significa que para todo ε>0 Existe algún δ>0 Tal que, para todo x, si 0<x-a<δ, Entonces |f(x)-L|<ε.
     • Limite por la Izquierda
       • lim┬(x→a^+ )⁡〖f(X)=L〗 Significa que para todo ε>0 Existe algún δ>0 Tal que, para todo x, si 0<a-x<δ, Entonces |f(x)-L|<ε.
     • Teorema 12
       • Una función f(X) tiene un limite en a si y solo si tiene limites por la izquierda y por la derecha y estos son iguales.

3. Limites al infinito

   • Consideremos el siguiente limite: lim┬(x→a^ )⁡〖f(X)=L〗 Si la constante a que es el valor al cual tiene la variable independientemente x va tomando valores cada vez mas y mas grandes sin detenerse en conta, superior alguna se dice entonces que la variable x tiene al infinito, si el limite existe se denota de la siguiente manera. lim┬(x→∞)⁡〖f(X)=L〗 De la misma manera, si la constante a va tomando valores negativos cada vez mas y mas grandes sin detenerse en cota inferior alguna, entonces se dice que la variable x tiende al infinito negativo, si el limite existe se denota de la siguiente manera: lim┬(x→∞)⁡〖f(X)=L〗
     • Ejemplo
       • Calcula los siguientes limites: lim┬(x→∞)⁡((1+x^2)/x^2 ) y lim┬(x→∞)⁡〖((1+x^2)/x^2 〗) En la figura se muestra la grafica de la función: f(x)=(1+x^2)/x^2 Aplicando los teoremas antes estudiados, rápidamente podemos verificar que: lim┬(x→∞)⁡〖((1+x^2)/x^2 )=〗 ((1+x^2)/x^2 )=∞/∞

4. Limites infinitos

   • En este tipo de funciones, si se aprecia que el valor de la función f(x) crece arbritraria cuando la variable independiente x se acerca a un cierto valor a, entonces se recomienda verificar el comportamiento de la función f(x) cuando la variable independientemente x se acerca al valor a tanto por la izquierda como por la derecha. Para tal acción, existen 4 casos posibles.
     • Caso 1
       • Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo. Su notación es como sigue: lim┬(x→a)⁡〖f(x)=∞ y lim┬(x→a)⁡〖f(x)=∞〗 〗
     • Caso 2
       • Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo. Su notación es como sigue: lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)=∞〗 y lim┬(x→a)⁡〖f(x)=∞〗
     • Caso 3
       • Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la funcion f(x) tiende a infinito positivo. Su notación es como sigue: lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)=∞〗 y lim┬(x→a)⁡〖f(x)=∞〗
     • Caso 4
       • Cuando la variable independiente x tiende al valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo. Su notación es como sigue: lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)=-∞〗 y lim┬(x→a)⁡〖f(x)=-∞〗

5. Referencias:

   • Alvarado, M. y Franchini, c. (2016). Calculo diferencial en competencias. Mexico: Grupo Editorial Patria. Recuperado de la base de datos elibrocatedra (7444657).
   • Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M., y Reyes, R. (2016). Calculo diferencial. Mexico: Pearson Educacion Mexico.