Teorema de los límites

Teorema de los límites

1. Continuidad de funciones

   • Una función tendrá continuidad si no se presentan en ella puntos de ruptura, es decir, puntos donde la función no se encuentre definida o bien, en el caso de que el límite de la función no exista cuando la variable independiente tiende a dicho punto
     • Función Continua
     • Función Discontinua
     • Una función f es continua en a si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones:
       • 1
       • 2
       • 3
       • En caso de que una o más de estas funciones no se cumpla, se asume que la función f es discontinua en a
         • Función Continua
         • Discontinuidad removible
           • Se dice que una función presenta una discontinuidad removible cuando se puede redefinir de tal manera que se cumpla la tercera condición
         • Discontinuidad escencial

2. Límites

   • Unilaterales
     • Teorema 1
       • "Si el límite existe, entonces es único." Esto significa que si una función tiene un límite en un punto dado, ese límite es único, no puede tener más de un valor. Este concepto es fundamental para entender la continuidad y el análisis matemático.
     • Teorema 2
       • Establece que el límite de una función constante 𝑐 es siempre igual a la constante misma, sin importar el valor de 𝑎.
     • Teorema 3
       • Establece que el límite de 𝑥 cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 es igual a 𝑎 mismo. En otras palabras, cuando evaluamos el límite de la variable 𝑥 mientras se acerca a un valor 𝑎, el resultado será el propio valor 𝑎. Este teorema es fundamental porque nos dice cómo se comporta la variable independiente 𝑥 en relación con su valor 𝑎 cercano.
     • Teorema 4
       • Establece que el límite de la suma o resta de dos funciones 𝑓 ( 𝑥 ) y 𝑔 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 es igual a la suma o resta de los límites de esas funciones individualmente. En otras palabras, si lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 y lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑀 , entonces lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 [ 𝑓 ( 𝑥 ) ± 𝑔 ( 𝑥 ) ] = 𝐿 ± 𝑀.
     • Teorema 5
       • Este teorema establece que el límite del producto de dos funciones 𝑓 ( 𝑥 ) y 𝑔 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 es igual al producto de los límites de esas funciones individualmente. Si lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 y lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑀, entonces lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 [ 𝑓 ( 𝑥 ) ⋅ 𝑔 ( 𝑥 ) ] = 𝐿 ⋅ 𝑀. Este teorema es fundamental en el cálculo y nos permite calcular límites de productos de funciones descomponiéndolos en límites individuales más simples.
     • Teorema 6
       • Conocido como el Teorema del Límite del Cociente. Establece que el límite del cociente de dos funciones 𝑓 ( 𝑥 ) y 𝑔 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 es igual al cociente de los límites de esas funciones individualmente, siempre y cuando el límite del denominador 𝑔 ( 𝑥 ) no sea igual a cero (es decir, 𝑀 ≠ 0). Este teorema es esencial para calcular límites de funciones racionales y nos permite simplificar la evaluación de límites de funciones complejas dividiéndolas en límites individuales más simples.
     • Teorema 7
       • Teorema de la Multiplicación por una constante. Establece que si multiplicamos una función 𝑓 ( 𝑥 ) por una constante 𝑐, entonces el límite de esa función cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 será igual al producto de la constante 𝑐 y el límite de la función original. Este teorema nos permite calcular límites de funciones multiplicadas por constantes de manera más sencilla y eficiente.
     • Teorema 8
       • Teorema de la Potencia. Establece que si elevamos una función 𝑓 ( 𝑥 ) a una potencia 𝑛, donde 𝑛 es un número natural, y luego evaluamos el límite de esa función cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎, el resultado será igual a la potencia del límite de la función original. Este teorema es fundamental para calcular límites de funciones elevadas a potencias y nos proporciona una herramienta importante en el cálculo de límites de funciones más complejas.
     • Teorema 9
       • Establece que si 𝑝 ( 𝑥 ) es una función polinómica, entonces el límite de 𝑝 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 es igual al valor de 𝑝 ( 𝑎 ). En otras palabras, si evaluamos el límite de una función polinómica en un punto 𝑎, el resultado será el mismo que el valor de la función en ese mismo punto. Este teorema es fundamental en el análisis de funciones polinómicas y nos indica que estas funciones son continuas en todos los puntos de su dominio.
     • Teorema 10
       • Establece que si evaluamos el límite de la raíz cuadrada de una función 𝑓 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎, y si el límite de 𝑓 ( 𝑥 ) es 𝐿 y 𝐿 es mayor o igual a cero, entonces el límite de la raíz cuadrada de 𝑓 ( 𝑥 ) es la raíz cuadrada de 𝐿. Si lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 con 𝐿 ≥ 0, entonces lim ⁡ 𝑥 → 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿. Este teorema es útil para calcular límites de funciones que involucran la raíz cuadrada y nos proporciona una regla clara para determinar el límite en dichos casos.
     • Teorema 11
       • Establece que si evaluamos el límite de la raíz 𝑛-ésima de una función 𝑓 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎, y si el límite de 𝑓 ( 𝑥 ) es 𝐿, entonces el límite de la raíz 𝑛-ésima de 𝑓 ( 𝑥 ) es la raíz 𝑛-ésima de 𝐿. Este teorema es útil para calcular límites de funciones que involucran raíces 𝑛-ésimas y nos proporciona una regla general para determinar el límite en dichos casos.
   • Bilaterales
     • Límite por derecha
       • Este Teorema se refiere al comportamiento de una función 𝑓 ( 𝑥 ) cuando la variable 𝑥 se aproxima a un límite por la derecha ( 𝑎 + ). Este teorema establece que si evaluamos el límite de 𝑓 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 desde la derecha, y el resultado es − ∞ , entonces la función 𝑓 ( 𝑥 ) tiende a valores negativamente infinitos a medida que 𝑥 se acerca a 𝑎 desde el lado derecho. Es útil para comprender el comportamiento de una función en un punto de discontinuidad o en puntos críticos donde la función tiende a menos infinito en un lado específico.
     • Límite por izquierda
       • Teorema que se refiere al comportamiento de una función 𝑓 ( 𝑥 ) cuando la variable 𝑥 se aproxima a un límite por la izquierda ( 𝑎 − ). Este teorema establece que si evaluamos el límite de 𝑓 ( 𝑥 ) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 desde la izquierda, y el resultado es − ∞, entonces la función 𝑓 ( 𝑥 ) tiende a valores negativamente infinitos a medida que 𝑥 se acerca a 𝑎 desde el lado izquierdo.
     • Teorema 12
       • El límite de una función f(x) existe para el valor a si y solo si existen los límites por la izquierda y por la derecha para la misma función y para el mismo valor a y si además estos dos límites son iguales
   • Al infinito
     • Si a que es el valor al que tiende la variable independiente x va tomando valores cada vez más grandes sin detenerse, se dice que x tiende al infinito:
       • Si la constante a va tomando valores negativos cada vez más grandes, se dice que la variable x tiende al infinito negativo:
   • Infinitos
     • Caso 1
       • Cuando la variable independiente x tiende a a por la derecha, el valor de f(x) tiende al infinito positivo y cuando x tiende a a por la izquierda, el valor de f(x) tiende al infinito positivo:
     • Caso 2
       • Cuando la variable independiente x tiende a a por la derecha, el valor de f(x) tiende a infinito positivo y cuando x tiende a a por la izquierda, f(X) tiende a infinito negativo:
     • Caso 3
       • Cuando x tiende a a por la derecha, f(x) tiende al infinito negativo y cuando x tiende a a por la izquierda, f(x) tiende al infinito positivo
     • Caso 4
       • Cuando x tiende a a por la derecha, f(x) tiende al infinito negativo y cuando x tiende a a por la izquierda, f(x) tiende al infinito negativo

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