La integral indefinida - created from Mind Map

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Propiedades básicas de la integral indefinida

Métodos elementales de integración:

Llamada también antiderivada, el cual es un proceso inverso de a la derivada

Una integral indefinida para una función f definida en un intervalo I es una función F tal que F’(x) = f (x), ∀ x ∈ ? y se denota como:

Elementos de la integral indefinida

A continuación se mencionarán algunas integrales inmediatas, a las cuales se le tildarán de propiedades básicas

1. ∫0dx=C, C: cte

∫dx=x+C, C es cte.

∫Cf(x)dx = C∫f(x)dx, C es cte

Si f y g son funciones integrables, en un intervalo I, entonces

∫(x^n )dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, n≠−1 ∧ C cte

∫[f(x)]^n d(f(x)) = ([f(x)]^(n+1))/(n+1) + C , n ≠ -1 ∧ C:cte

∫(f(x) ± g(x))dx=∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

∫(C1f(x) ± C2g(x))dx = C1∫f(x)dx ± C2∫g(x)dx

2. Por sustitución recíproca

3. Por partes

4. Integrales de funciones trigonométricas elementales.

1. Por sustitución algebraica

6. Integrales que dan por resultados Funciones Trigonométricas Inversas.

En muchos ejercicios, simplifica las integrales propuestas en otra integral equivalente cuya antiderivada es, por lo general, directa e inmediata.

x=1/?

Cuando el integrando presenta cierta peculariedad en el producto de dos funciones, se usará esta forma :

∫vd(v)=uv − ∫v?(u)

Ya sabiendo desde el ciclo pasado que cada función trigonométrica puede ser diferenciable, se suelen usar:

Consiste en realizar un cambio de variable algebraico

Un ejemplo puede ser:

En este tema se busca una función F, de otra función f; tal que: F'(x) = f(x)

Una función F se llama la Antiderivada de otra función f continua sobre un intervalo I si F’(x) = f (x), ∀ ? ∈ I .

Este proceso es llamado proceso inverso a la diferenciación

Por ejemplo, si f(x) = cos(x); entonces F(x) = sen(x); puesto que:

Es decir que anteriormente la derivada inversa del coseno es el seno, en otras palabras: D-¹xcos(x)=sen(x)

F'(x)=Dx(sen(x))=cos(x)=f(x)⇒F'(x)=f(x)

Dada la función F tal que: F(x) = 2?³−8? es una antiderivada de f tal que: f (x) = 3x²−8, ∀ x∈ ℝ

Sin embargo podemos verificar también que:

Puesto que: F’(x)=F'(x)=6x²−8=?(x), ∀ x ∈ ℝ

F1(x)=2x³−8x−15 y F2(?)=2x³−8x+1 son también antiderivadas de f

En general, si F es una antiderivada de f , entonces, F + C también es una antiderivada de la función f para toda constante C puesto que: Dx (F(x)+C)=F'(x)=?(?)

∫f(x)d?=F(x)+C, ∀ x ∈ ?

A la integral indefinida también se le llama primitiva f (x), que no es única, puesto que, si por ejemplo f (x) = 3x²

Entonces todas sus primitivas están representadas por x³ + C , en la que C es una constante cualquiera, denominada constante de integración.

Entre sus elementos están:

1. El integral 2.Integrando 3.Diferencial 4.Variable de integración 5.Constante de integración

Los cuales podemos ver en la siguiente imagen