FUNCIÓN INVERSA

FUNCIÓN INVERSA

Las funciones f y g son funciones inversas si f ( g ( x )) = x para todas las x en el dominio de g y g ( f ( x )) = x para todas las x en el dominio de f .

La inversa de una función f es usualmente denotada por f –1 y se lee “ f inversa.” (Dese cuenta que el superíndice –1 en f –1 no es un exponente).

Suponga que dos funciones son inversas. Si ( a , b ) es un punto en la gráfica de la función original, entonces el punto ( b, a ) debe ser un punto en la gráfica de la función inversa. Las gráficas son imágenes espejo una de otra con respecto a la recta y = x .

PROPIEDADES Y PASOS

1. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.

2. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.

3. La función inversa no siempre existe.

4. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial.

5. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos:

1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. Recordad que y=f(x).

2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x.

3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.

EJEMPLO

Hallar la función inversa de ?(?) = 3? + 5.

Vamos a seguir los pasos anteriormente descritos, antes que nada, tendremos en cuenta que ?(?) = ?, por tanto, empezaremos nuestros pasos a partir de la siguiente función: ? = 3? + 5.

1º. Hacemos el cambio, obteniendo: ? = 3? + 5.

2º. Despejamos ? en función de ? ? − 5 = 3? (1) ?−5 3 = ? (2)

3º. Por tanto la función inversa es

? = ?−5/ 3