Flowchart
Mapa mental matrices chido
Flowchart content
Matrices,
determinantes
y sistemas de
ecuaciones
lineales
Tipos de matrices y sus propiedades
Matriz Fila: toda matriz rectangular que tiene una sola fila
Matriz triangular inferior: toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros
Matriz Traspuesta: es la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas
Matriz rectangular: tiene distinto número de filas que de columnas
Matriz Columna:toda matriz rectangular con una columna
Matriz opuesta: tiene todos los elementos de signo contrario a la matriz original
Matriz cuadrada de orden n:es aquella que tiene igual número de filas que de columnas
Matriz Diagonal: toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son ceros
Matriz triangular superior: toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros
Matriz Escalar: matriz escalar es toda matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales
Matriz Identidad: matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno
Matriz Nula: donde todos los elementos son cero
Álgebra de Matrices
Suma de Matrices: se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición
Resta de matrices: la resta de matrices se calcula restando los elementos que ocupan la misma posición
Producto por un escalar: cada entrada en la matriz se multiplica por el escalar dado
Producto de matrices: para realizarlo se necesitara multiplicar las filas de la la matriz A por las columnas de la matriz B
Matriz inversa por reducción de renglones
Escribimos una matriz doble que contiene a la matriz A en un lado y a la matriz identidad en el otro
Dividimos la fila 1 entre 2
A la fila 2 le restamos el cuádruple de la fila 1
Multiplicamos la fila 2 por -1
Como tenemos la identidad en el lado izquierdo, la inversa de A es la matriz del lado derecho
Determinantes
Propiedades
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes
El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0
Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor
Se puede extraer el mismo factor común de nn filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n
Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo
Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar
Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante
El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta
Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0
El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal
Calculo de determinantes
Menores, cofactores y adjunta de una matriz
Regla de Laplace
Empecemos por el primer elemento a11. Rallamos las filas y columnas que integren a11. Los elementos que queden sin rallar, será el primer determinante menor multiplicado por a11.
Seguimos con el segundo elemento de la primera fila, es decir, a12. Repetimos el proceso: rallamos las filas y columnas que contengan a12
Ajustamos el signo del menor
Añadimos el segundo determinante menoral resultado anterior y formamos una serie de expansión tal que
Continuamos con el tercer elemento de la primera fila, es decir, a13. Repetimos el proceso: rallamos la fila y la columna que contengan a13
Añadimos el tercer determinante menor al resultado anterior y ampliamos la serie de expansión tal que
Dado que ya no quedan más elementos en la primera fila, entonces cerramos el proceso recursivo. Calculamos los determinantes menores
De la misma forma que se han empleado elementos de la primera fila, este método también se puede aplicar con las columnas
Menores y Cofactores
El menor del elemento aij se denota como Mij y es el determinante de la matriz que queda después de borrar el renglón i y la columna j de A. El cofactor de aij se denota como Aij y está dado por
Adjunta de una Matriz
Se obtiene calculando los menores de cada uno de los términos y multiplicándolos por un orden de signos intercalados
Inversa de una matriz por el método de la
adjunta.
Sistema de ecuaciones lineales
Obtener la matriz adjunta de nuestra matriz original
Calcular el determinante de A
Dada la formula la matriz inversa de A es:
Solución de sistema de ecuaciones por el
método de Gauss y Gauss – Jordan
Un sistema de ecuaciones lineales es de la forma indicada a la izquierda y se suele representar por una matriz como la de la derecha
Un sistema de este tipo puede tener solución única (compatible determinado), infinitas soluciones (compatible indeterminado) o no tener solución (incompatible) respectivamente .
La matriz de un sistema es una matriz escalonada.
Siempre es posible reducir un sistema a forma escalonada
Método de Gauss
Método de Gauss-jordan
Considerando el sistema
Se lleva a cabo el mismo procedimiento con la excepción de que se finaliza al obtener una matriz identidad
Para resolver por reducción de Gauss, Primero se crean los ceros en la primera columna bajo el primer elemento
Intercambiar las filas es superfluo pero nos permite evitar los cálculos con fracciones al crear los ceros de la segunda columna
Con un paso más llegamos a la forma escalonada
Obteniendo así los resultados:
x=-1
y=0
z=1
Solución de sistemas de ecuaciones
mediante la inversa de una matriz y regla
de Cramer.
Método mediante la inversa
Regla de Cramer
Aplicaciones
Dado el sistema:
La matriz ampliada es:
Es una matriz regular porque su determinante es 14. Su matriz inversa es
La matriz de términos independientes del sistema es
Calculamos la solución del sistema multiplicando las matrices A^-1 y b
Por tanto, la solución del sistema es
En ambos casos el Determinante debe ser distinto a 0 y el sistema debe ser cuadrado
Sea el sistema
a1x + b1y + c1y = k1
a2x + b2y + c2y = k2
a3x + b3y + c3y = k3
Las respuestas se obtendrían
x
y
z
Algebra Lineal
Geometría
Análisis
Física
Geografía
Electronica
Ingeniería
