Límites

LÍMITES

El límite de f(x) cuando "x" tiende a "c" es igual a L si a medida que "x" se acerca a "c", ya sea

por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.

lim f (x)=L.

x->c

EL PROCESO DEL LÍMITE

VALOR ABSOLUTO

DEFINICION DE LOS LÍMITES

CÁLCULO DE UN LÍMITE

EJEMPLOS

Con la gráfica y una tabla de valores

Por la derecha y por la izquierda

Mediante gráficos y tablas de valores de las funciones se introduce el concepto de límite de una función en un punto. También se proporciona casos en los cuales el límite no existe.

Si f (x)=x^2-4/x-2

¿A qué valor se aproxima f (x) si x se aproxima a 2?

Podemos ver que, aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco)

en el punto, las imágenes de valores de "x" muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4.

También una tabla de valores utilizando valores de "x" próximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la derecha (mayores que 2), nos convence de esa situación.

Consideremos ahora la función

g(x)= |x|/x

En su gráfica vemos que por la derecha de 0 las imágenes son 1, mientras que por la izquierda de 0 las imágenes son -1, la gráfica presenta un "salto" y entonces las imágenes no se acercan a un mismo valor.

Podemos ver que el límite no existe. Hagamos una tabla como las de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera.

Si tomamos valores de "x" por la izquierda de 0 entonces g(x) se hace -1, pero al tomar valores

por la derecha de 0 entonces g(x) se hace 1. Esto es: la tendencia diere según el lado en que tomemos los valores.

Recuerde que el valor absoluto se de ne de la siguiente manera:

Si un núumero es positivo o cero entonces es igual a su valor absoluto y si el número es negativo entonces su valor absoluto es su opuesto.

ALGUNAS PROPIEDADES

1)|X|> 0 para todo x E R

2) |xy|=|x| |y| para todo x, y en R

3)|x+y|< |x|+|y| para todo x, y en R

4) |x|< k es equivalente a -k < x < k

5) |x| > k es equivalente a x > k o x < -k

Sin embargo el uso gráficas o de tablas para calcular límites no es todo lo eciente que quisiéramos. Básicamente tenemos algunos problemas:

* A veces no se conoce la gráfica de una función, o es muy difícil de trazar.

* Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboración

de la tabla utilizando únicamente una sencilla calculadora.

* No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto.

Se puede tomar atajos que nos permiten efectuar cálculos más rápidos y, a la vez, con lacerteza de la validez de los resultados obtenidos.

En el caso de los límites esto se logra con el uso adecuado de algunos teoremas que daremos a

continuación como propiedades de los límites.

DOS LÍMITES ESPECIALES

El límite de una función constante

El límite de la función identidad

Podemos ver que para cualquier valor de "c" tenemos que:

lim k = k

x--> ​c

Podemos observar que para cualquier valor x = c se tiene que:

lim x = c

x--> c