FUNCION CUADRATICA

FUNCION CUADRATICA

1. Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero . En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax 2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .

   • ELEMENTOS
     • Concavidad:
       • Si a<0, entonces la Ø Si a>0, entonces la parábola es convexa. parábola es cóncava.
     • RAÍCES
       • Las raíces de una función cuadrática son los valores de x cuando la función es igual a cero. En otras palabras son los valores de x donde la parábola intersecta el eje x, también puedes encontrar las raíces con el nombre de soluciones o ceros. Generalmente para encontrar las raíces, podemos factorizar la función o bien utilizar la fórmula de Baskara, que tiene la siguiente forma. \ x=\frac{-b \pm \sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}
     • VÉRTICE
       • El vértice es un punto de la parábola máximo o mínimo en la función. Diremos que el vértice es máximo si la parábola tiene concavidad hacia abajo y diremos que el vértice es mínimo siempre y cuando la parábola tenga concavidad hacia arriba. La fórmula para encontrar el vértice es la siguiente:
         • a[x2 +(b/a) x +(b/2a)2 ]+c- a (b/2a)2
     • EJE DE SIMETRÍA
       • El eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, por tanto es única y dividirá en dos partes iguales a la parábola como una simetría axial. El eje de simetría se representa por la recta
     • CORTE CON EL EJE Y
       • El corte con el eje y está determinado por el coeficiente “c”, el punto de intersección será el punto (0, c).
     • discriminante
       • Si es mayor que cero tendrá dos soluciones, lo que quiere decir que la parábola corta al eje X
       • Si es igual a cero tendrá una sola solución , por lo tanto la parábola será tangente al eje X.
       • si es menor que cero, será la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que NO tendrá solución, lo que quiere decir que la parábola no corta al eje X.
     • punto minimo y punto maximo

2. relacion entre funcion y ecuacion cuadratica

   • variacion de los coeficientes de una funcion cuadratica
     • caso 1
       • al darle valor reales distintos de cero al coeficiente x, las ramas de la parabola de la funcion,se vuelven mas cerradas o abiertas con respecto a la parabola unitaria
         • si a es mayor a 1 se contrae
         • si a es mayor a cero y menor a 1 la parabola se dilata
       • caso 2
         • al sumar a la variable x cuadrado de la funcion con K POSITIVA O NEGATIVA la parabola se traslada K unidades hacia arriba vo hacia abajo del origen
         • caso 3
           • h es igual a constante positiva o negativa se traslada H unidades hacia la izquierda o derecha del origen
           • caso 4
             • se combinan todos los casos anteriores

3. Forma polinómica

   • Se llama así porque la función está expresada por un polinomio: f(x) = ax^2 + bx + c \,
   • Forma factorizada
     • Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada: f(x) = ax^2 + bx + c \, se puede factorizar como: f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \, siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir: f(x) = a(x - x_1)^2 \, En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2
     • Forma canónica
       • Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: f(x) = a (x - h)^2 + k \, Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados.

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