Integración

Integración

1. Antiderivación

   • Definición
     • Proceso proceso mediante el cual, al tomar una antiderivada de una función y derivarla, obtenemos la función original con la cual se está estudiando
       • es decir
         • Es el proceso opuesto a la derivación,
           • con el que se obtiene
             • El conjunto de todas las funciones de una derivada específica
       • Ejemplos
         • F(x)=2/3x^6 es una antiderivada de la función F’(x)=4x^5
           • Por la antiderivación, derivando, ⅔x^6 tenemos 4x^5, aplicando las reglas. Obtenemos la función original 4x^5 derivando la antiderivada
         • F(x)= 4x^3 es una antiderivada de la función F’(x)=12x^2
           • F(x)= 4x^3 + 4 o F(x)= 4x^3 -23 también pueden ser antiderivadas de la misma función F’(x)
             • Ya que
               • Sabiendo que la derivada de una constante es igual a 0, al derivar estas funciones se obtiene 12x^2

2. Propiedadad fudamental de la Antiderivada

   • Explica o demuestra que no existe una única antiderivada para una cierta función original
     • Se debe a
       • La suma o resta de constantes que no alteran el hecho que una antiderivada siga siendo propiamente una antiderivada por las propiedades estudiadas.
         • Por lo tanto
           • Se pueden hallar infinitas antiderivadas para una función específica.
   • Ejemplo
     • Partiendo de
       • Una familia de antiderivadas: G(x)=F(x) + C, en donde C es una constante
         • Entonces
           • 3x^5, 3x^5-60, 3x^5+125, 3x^5-1070 son una familia de antiderivadas de la función F’(x)=15x^4

3. Integrales indefinidas

   • Son el conjunto de infinitas primitivas o a la familia de todas las antiderivadas que puede tener una función específica f
     • Representada por
       • La ecuación ∫ f(x) dx= F(x) + C, donde F es la función de la antiderivada y C es una constante que puede adquirir cualquier valor.
   • Ejemplos
     • F(x)= ∫ 3x dx= 3/2 x^2 + C
     • F(x)= ∫ 8/14x dx= 8/14 ln |x| + C

4. Reglas para integrar funciones elementales

   • Regla de la constante
     • ∫ k dx = Kx + C → para K constante
   • Regla de la potencia
     • ∫ x^n dx = [x^(n + 1)]/ (n + 1) + C → para todo n ≠ -1
   • Regla logarítmica
     • ∫ 1/x dx = ln |x| + C → para todo x ≠ 0
   • Regla exponencial
     • ∫ e^kx dx = 1/k (e^kx) + C → para la constante K ≠ 0
   • Ejemplos
     • ∫ x^-1 dx= ∫ 1/x dx = ln |x| + C → aquí se aplica la regla logarítmica porque n= -1, de modo contrario se aplicaría la regla de la potencia
     • ∫ e^5x dx= (e^5x)/ 5 + C → aquí se aplica la regla exponencial

5. Normas algebraicas

   • Regla del factor constante
     • ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx , siendo k una constante
     • En la multiplicación de la integral de una constante por una función, se debe extraer la constante y multiplicarla por la integral de dicha función.
     • Ejemplo
       • ∫ 18x dx = 18 ∫ x dx = 18 x2/2 + C = 9x2+ C
   • Regla de la suma algebraica
     • ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
     • Para integrar la suma o resta de dos funciones, se debe integrar cada una por separado y se suman o se restan los resultados según sea el caso
     • Ejemplo
       • Ejemplo: ∫ (x+18) dx = ∫ x dx + ∫ 18 dx = x2/2 + 8x + C

6. Aplicaciones

   • Importancia
     • El proceso utilizado parala integración se funciones no se queda solo en el papel, pues es útil para resolver problemas del día a día en el campo económico.
       • Es decir
         • Se debe resolver la ecuación dada pero sujeta a ciertas condiciones.
       • Ejemplo
         • Luis en su panadería, entre el costo de los insumos, el sueldo de sus empleados por las horas trabajadas, etc. se da cuenta que cuando se producen q unidades de canillas el costo marginal de producir cada una son 2q2-32q+60bs. Si producir las primeras 3 canillas le costó 200 bs, ¿cuánto le costará producir 10 canillas?
           • Por ende
             • Costo marginal = C´(q)= 2q2-32q+60bs → derivada de la función C(q) Costo C(q) = ∫ (2q2-32q+600) dq = 2/3q3-16q2+60q+K → integral de la función C´(q) C(3)=200 bs, entonces 200= 2/3(3)3 - 16(3)2 + 60(3) + K= 200= 18 - 144 + 180 + K 200 - 54= K K=146
               • Sustituyendo se tiene que
                 • C(q)=2/3 q3- 16q2 + 60q +146 Producir 10 canillas sería C(10)=2/3 (10)3 - 16(10)2 + 60(10) + 146 C(10)= -187,33 Bs.

7. Referencias bibliográficas

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• Antiderivadas - Definición de Antiderivada - Teorema de la Constante (Embed)
• ¿Qué son las integrales indefinidas? (Embed)
• ? Conoce las REGLAS Básicas de INTEGRACIÓN Indefinida de Funciones ▶️ Cálculo Integral (Embed)
• Reglas básicas de integración | Ejemplos | Cálculo Integral (Embed)
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