ESPACIO VECTORIAL

ESPACIO VECTORIAL

1. DEFINICIÓN

   • Conjunto no vacío de vectores

2. ELEMENTOS

   • Operación suma
   • Operación producto
   • Conjunto de escalares
     • Reales
   • Conjunto de vectores
     • Vectores
       • Dimensión
         • R2 =2
           • R3 =3
     • Matrices
       • Dimensión
         • 2x2=4
           • 3x3=9
     • Polinomios
       • Dimensión
         • Primer grado=2
           • Segundo grado=3
             • Tercer grado=4

3. AXIOMAS

   • Ley de cerradura Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V
   • Ley conmutativa u + v = v + u
   • Ley de cerradura Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V
   • Ley Distributiva c (u + v) = c + cv , para todo real c y todo elemento u y v en V.
   • Ley Distributiva (c+d) u = cu + du para todo número real c y d, ytodo elemento u en V.
   • Elemento neutro de la multiplicación 1u =u, para u en V.
   • Ley Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w
   • Elemento neutro para la suma Existe un elemento 0 en tal u que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.
   • Elemento Simétrico o Negativo Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0
   • Ley asociativa de la multiplicación c.(du) = (cd) u para todo número realc y d y todo elemento u en V.

4. EJEMPLO

   • Por ser los escalares de IR, se dice que V es un IR-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre otros cuerpos de escalares, como C. Ejemplo Los conjuntos IRn , los conjuntos de polinomios Pn[X] = {P(X) ∈ IR[X] : gr(P) ≤ n} y los conjuntos de matrices reales Mm×n = {matrices de tama˜no m×n}, con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son espacios vectoriales reales.