METODOS NUMERICOS

METODOS NUMERICOS

1. TEMAS

   • MÉTODOS CERRADOS
     • PASOS METODOS DE BISECCION
       • SEA DE F(X) CONTINUA
       • I.- ENCONTRAR VALORES INICIALES Xa,Xb TALES QUE F(Xa) Y F(Xb) TIENE SIGNOS OPUESTOS DE DECIR F(Xa)-F(Xb) <0
       • II.- LA PRIMERA APROXIMACION ALA RAIZ SE TOMA IGUAL AL PUNTO MEDIO ENTRE Xa Y Xb Xr=Xa+Xb/2
       • iii.- EVALUAR F(Xr) FORZOSAMENTE SE DEBE CAER EN UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS
         • CASO 1 F(Xa)F(Xr1)<0 EN ESTE CASO SE TIENE QUE F(Xa) Y F(Xr1) TIENE SIGNOS OPUESTOS Y POR TANTO LA RAIZ SE ENCUENTRA EN EL INTERVALO [Xa,Xr]
         • caso 2 F(Xa)F(Xr1)>0 EN ESTE CASO SE F(Xa) Y F(Xr1) TIENE EL MISMO SIGNOS Y DE AQUI QUE F(Xb) Y F(Xr1) TIENE SIGNOS OPUESTOS POR LO TANTO LA RAIZ SE ENCUENTRA EN EL INTERVALO [F(Xa) , F(Xr1) ]
         • CASO 3 F(Xa) F(Xr1) =0 EN ESTE CASO SE TIENE QUE F(Xr1)=0 Y POR LO TANTO YA SE LOCALIZO LA RAIZ
     • RAICEZ DE ECUACIONES
       • RAÍCES DE ECUACIONES DEFINICIÓN EL OBJETO DEL CÁLCULO DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN ES DETERMINAR LOS VALORES DE X PARA LOS QUE SE CUMPLE: F ( X ) = 0 SU IMPORTANCIA RADICA EN QUE SI PODEMOS DETERMINAR LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN TAMBIÉN PODEMOS DETERMINAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS, VALORES PROPIOS DE MATRICES, RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES
         • METODO DE L FALSA POSICION
           • 1-DIVIDIR EL INTERVALO ALA MITAD ES UN METODO POCO EFICIENTE YA QUE NO SE TOMA ENCUENTA LAS MAGNITUDES DE F(Xe Y F(Xu)
           • UN METODO ALTERNATIVO CONSISTE EN UNIR F(Xe Y F(Xu) POR MEDIO DE UNA LINEA Y FIJAR LA FALZA POSICION DE Xr EN EL CRUCE DE ESTA LINEA
   • TERMINOS DE SERIE DE TEYLOR
     • 1.- ELE PRIMER TERMINO NOS PROPORCIONA UNA APROXIMACION DE ORDEN 0 = F(Xi+1)
     • 2.-LA APROXIMACION DEL 1.-ER ORDEN SE OBTIENE SUMANDO OTRO TERMINO ALA SERIE DE LA CUAL REPRESENTA UNA LINEA RECTA Y PERMITE PREDECIR UN INCREMENTO O DECREMENTO TOTAL ENTE Xi y Xi+1 F(Xi+1)=F'(!Xi)(Xi+1-Xi)/1
     • 3.-LA APROXIMACION DE SEGUNDO ORDEN PERMITE TENER ALGO DE CURVATURA F(Xi+1)=F(Xi)+F'(!Xi)(Xi+1-Xi)/1!+F''(!Xi)(Xi+1-Xi)^2/2!
   • MÉTODO DE PUNTO FIJO
     • EL METODO PF CONSISTE EN ARREGLAR LA ECUACION F(X)=0 DE TAL MODO QUE X ESTE A LADO IZQUIERDO DE LA ECUASION EJ: e^x +x^2 =3 se convierte x=3-e^x /x HAY DOS CASOS
       • CASO1: = ESTO INDICA QUE EL VALOR ELEGIDO ES UNA RAÍZ Y EL PROBLEMA QUEDA CONCLUIDO, YA QUE SE CUMPLE: F ( ) = 0
       • CASO 2: EN ESTE CASO DE OBTIENE Y ADEMÁS EN ESAS CIRCUNSTANCIAS SE PROCEDE A UNA SEGUNDA EVALUACIÓN DE G(X), PERO AHORA EN , SE DENOTA EL RESULTADO COMO . ESTE PROCESO SE REPITE Y SE OBTIENE UN PROCESO ITERATIVO HASTA QUE
   • METODO DE NEWTON - RAPHSON
     • ESTE MÉTODO, EL CUAL ES UN MÉTODO ITERATIVO, ES UNO DE LOS MÁS USADOS Y EFECTIVOS PARA EL CALCULO DE RAIZESEN METODO DE NR NO TRABAJA SOBRE INTERVALOS SINO QUE SE BASA EN SU FORMULA EN UN PROCESO SUPONGAMOS QUE TENEMOS LA APROXIMACIÓN A LA RAÍZ DE Xi ALA RAIZ DE Xy DE F(X)
       • PASOS
         • TRAZAMOS LA RECTA TANGENTE A LA CURVA EN EL PUNTO (Xi F(Xi)) ÉSTA CRUZA AL EJE X EN UN PUNTO QUE Xi+1 SERÁ NUESTRA SIGUIENTE APROXIMACIÓN A LA RAÍZ Xy
           • PARA CALCULAR EL PUNTO Xi+1 CALCULAMOS PRIMERO LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE. SABEMOS QUE TIENE PENDIENTE m=F'(Xi)
             • Y POR LO TANTO LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE ES:
               • HACEMOS Y=0 -F(Xi)=F'(Xi)(X-Xi)
                 • Y DESPEJAMOS X:
   • METODO DE LA SECANTE
     • UN PROBLEMA DEL METODO DE NR ES LA EVALUACION DE LA DERIVADA PARA ALGUNAS FUNCIONES
       • ESTE CASO DE LA DERIVADA SE PUEDE CALCULAR POR MEDIO DE UNA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA F'(X)=F(Xi+1)-F(Xi)/Xi-1-Xi
         • ESTA APROXIMACION SE SUSTITUYE EN LA EC. DE NR PARA OBTENER Xi+1 = Xi -F(Xi+1)-F(Xi-1-Xi)/ F(Xi-1) - F(Xi)
           • ESTE METODO REQUIERE DE DOS VALORES INICIALES PERO NO SE CONSIDERA CERRADO YA QUE NO NECESITA QUE LA FUNCION CAMBIE DE SIGNO ENTRE LOS VALORES INICIALES
   • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
     • SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES GRAN NÚMERO DE PROBLEMAS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA SE REDUCE AL PROBLEMA DE RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. POR EJEMPLO, PUEDEN CITARSE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES, LA APROXIMACIÓN POLINOMIAL, LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES, ENTRE OTROS. UN SISTEMA DE M ECUACIONES LINEALES EN N INCÓGNITAS TIENE LA FORMA GENERAL:
       • A1,1 X1 + A1,2 X2 + ….. + A1,N XN = B1 A2,1 X1 + A2,2 X2 + ….. + A2,N XN = B2 . . . . . . . . AM,1 X1 + AM,2 X2 + ….. + AM,N XN = BM
     • CONVERGENCIA Y CONVERGENCIA EN JACOBI
       • UNO DE LOS PRINCIPALES PROBLEMAS DE LOS MÉTODOS ITERATIVOS ES LA GARANT´IA DE QUE EL MÉTODO VA A CONVERGER, ES DECIR, VA A PRODUCIR UNA SUCESIÓN DE APROXIMACIONES CADA VEZ EFECTIVAMENTE MÁS PRÓXIMAS A LA SOLUCIÓN. EN EL CASO DEL MÉTODO DE JACOBI NO EXISTE UNA CONDICIÓN EXACTA PARA LA CONVERGENCIA. LO MEJOR ES UNA CONDICIÓN QUE GARANTIZA LA CONVERGENCIA, PERO EN CASO DE NO CUMPLIRSE PUEDE O NO HABERLA ES LA SIGUIENTE: SI LA MATRIZ DE COEFICIENTES ORIGINAL DEL SISTEMA DE ECUACIONES ES DIAGONALMENTE DOMINANTE, EL MÉTODO DE JACOBI SEGURO CONVERGE.
     • MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
       • EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL ES MUY SEMEJANTE AL MÉTODO DE JACOBI. MIENTRAS QUE EN EL DE JACOBI SE UTILIZA EL VALOR DE LAS INCÓGNITAS PARA DETERMINAR UNA NUEVA APROXIMACIÓN, EN EL DE GAUSS-SEIDEL SE VA UTILIZANDO LOS VALORES DE LAS INCÓGNITAS RECIÉN CALCULADOS EN LA MISMA ITERACIÓN, Y NO EN LA SIGUIENTE. POR EJEMPLO, EN EL MÉTODO DE JACOBI SE OBTIENE EN EL PRIMER CÁLCULO XI+1, PERO ESTE VALOR DE X NO SE UTILIZA SINO HASTA LA SIGUIENTE ITERACIÓN. EN EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL EN LUGAR DE ESO SE UTILIZA DE XI+1 EN LUGAR DE XI EN FORMA INMEDIATA PARA CALCULAR EL VALOR DE YI+1 DE IGUAL MANERA PROCEDE CON LAS SIGUIENTES VARIABLES; SIEMPRE SE UTILIZAN LAS VARIABLES RECIÉN CALCULADAS.
     • MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS CON PIVOTEO
       • EL LA ELIMINACIÓN DE X1 DE LA SEGUNDA Y TERCERA ECUACIONES DE LA FORMA (1.0) SE TOMÓ COMO LA BASE LA PRIMERA, POR LO CUAL SE DENOMINA ECUACIÓN PIVOTE O, EN TÉRMINOS DE LA NOTACIÓN MATRICIAL, FILA PIVOTE. PARA ELIMINAR X2 DE LA TERCERA ECUACIÓN DE LA FORMA (1.1), LA FILA PIVOTE UTILIZADA FUE LA SEGUNDA. EL COEFICIENTE DE LA INCÓGNITA QUE SE VA A ELIMINAR EN LA FILA PIVOTE SE LLAMA PIVOTE. EN LA ELIMINACIÓN DIO COMO RESULTADO EL SISTEMA DE ECUACIONES (1.2), LOS PIVOTES FUERON A1,1 Y A’2,2 . ESTA ELECCIÓN NATURAL DE LOS PIVOTES A1,1 , A’2,2, A’’3,3, ETC., ES MUY CONVENIENTE TANTO PARA TRABAJAR CON UNA CALCULADORA COMO CON UNA COMPUTADORA, DESAFORTUNADAMENTE FALLA CUANDO ALGUNO DE ESOS ELEMENTOS ES CERO, PUESTO QUE LOS MULTIPLICADORES QUEDARÍAN INDETERMINADOS ( POR EJEMPLO SI A1,1 FUERA CERO, EL MULTIPLICADOR (-A2,1/A1,1) NO ESTÁ DEFINIDO). UNA MANERA DE EVITAR ESTA POSIBILIDAD ES SELECCIONAR COMO PIVOTE EL COEFICIENTE DE MÁXIMO VALOR ABSOLUTO EN LA COLUMNA RELEVANTE DE LA MATRIZ REDUCI
     • MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE JORDAN
       • ES POSIBLE EXTENDER LOS DOS MÉTODO VISTOS ANTERIORMENTE DE MODO QUE LAS ECUACIONES DE REDUZCAN A UNA FORMULA EN LA QUE LA MATRIZ DE COEFICIENTE SEA DIAGONAL Y YA NO SE REQUIERA DE SUSTITUCIÓN REGRESIVA. LOS PIVOTES SE ELIGEN COMO EN EL MÉTODO DE GAUSS CON PIVOTE, Y UNA VEZ INTERCAMBIADAS LAS FILAS SE ELIMINAN LOS ELEMENTOS ARRIBA Y DEBAJO DEL PIVOTE.

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