TEOREMA DE LOS LIMITES

TEOREMA DE LOS LIMITES

1. LA DETERMINACION DE LA CONTINUIDAD

   • FUNCION CONTINUA
     • CONDICIONES
       • CONTINUIDAD DE UN PUNTO
         • Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide con el valor que toma la función en dicho punto,
           • La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condiciones siguientes:
             • Existe el límite de la función f(x) en x = a.
             • La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)
             • Los dos valores anteriores coinciden.
       • CONTINUIDAD LATERAL
         • Si nos restringimos a los valores que la función toma a la derecha o a la izquierda del punto x = a, se habla entonces de continuidad lateral a la derecha o a la izquierda del punto a.
           • Continuidad a la izquierda:
             • La función f (x) es continua a la izquierda en el punto x = a cuando el límite a la izquierda en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.
           • Continuidad a la derecha:
             • La función f (x) es continua a la derecha en el punto x = a cuando el límite a la derecha en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.
       • CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
         • Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo.
     • una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel

2. el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función.

   • Teorema de Weierstrass:
     • Si f es continua en [a,b] entonces f tiene por lo menos un máximo y por lo menos un mínimo en dicho intervalo.
   • Teorema de Bolzano
     • Si f es continua en [a,b] y f(a)<0<f(b) o f(b)<0<f(a) entonces existe c £ (a,b) tal que f(c) =0
   • Teorema del valor intermedio
     • si f es continua en {a,b} y k : f(a)< k < f(b) entonces existe c £ (a,b) tal que f(c) =k
   • Acotación
     • Si f es una función sobre un conjunto compacto entonces, la función tiene un máximo o un mínimo (sobre un conjunto abierto se tiene el siguiente contraejemplo la función f(x)=1/x es continua sobre (0,1) pero no es acotada

3. se divide en

   • limites unilaterales
     • Hay casos en que las funciones no están definidas en los reales ni por la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.
     • limite unilateral por la derecha
       • Sea f una función definida de todos los números del intervalo abierto a,c. Entonces, el límite de fx, cuando x se aproxima a a por la derecha es Z.
     • limite unilateral por la izquierda
       • Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto a,c. Entonces, el límite de fx, cuando x se aproxima a a por la izquierda es Z,
   • limites bilaterales
     • Un límite bilateral es simplemente un límite en el que los dos límites unilaterales o laterales, o lateral por derecha y lateral por izquierda existen y son iguales.
   • limites al infinito
     • el comportamiento de f(x), cuando x toma valores cada vez más y más grandes, sean estos positivos o negativos; es decir, cuando x → + ∞ (significa que “x” crece sin límite) o cuando x → - ∞ (significa “x” decrece sin límite).
       • Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L.
       • Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M.
   • limites infinitos
     • Existen funciones que al acercarse x a cierto valor ellas crecen (o decrecen) sin cota por lo cual en estos casos el límite no existe.

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