FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS

1. DESIGUALDADES

   • Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos
     • SIMBOLOS
       • < Menor que
       • ≤ Menor o igual que
       • > Mayor que
       • ≥ Mayor o igual que
   • CLASIFICACIÓN
     • LINEALES
       • Son de grado 1 y tienen como solución un solo intervalo
     • CUADRÁTICAS
       • Son de grado 2 y pueden tener uno o dos intervalos de solución
     • RACIONALES
       • Son aquellas que son el cociente de dos expresiones algebraicas
     • CON VALOR ABSOLUTO
       • Son aquellas que tienen el sino de valor absoluto con una variable

2. FUNCIONES

   • es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda.
     • DOMINIO
       • Conjunto formado por los todos los valores que tiene X
     • RANGO
       • Son todos los valores que toma la función o variable Y
     • CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
       • FUNCIONES RACIONALES
         • Son aquellas que vienen expresadas mediante cocientes o razones de dos polinomios de la forma f(x)=PX/QX
       • FUNCIONES IRRACIONALES
         • Son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicado la variable independiente Dom f(x)=R Rango=R
       • FUNCIONES EXPONENCIALES
         • Son aquellas funciones del tipo f(x)= a^{x} donde a debe ser un número mayor que cero y distinto de 1
       • FUNCIONES LOGARITMICAS
         • Son aquellas que se expresan f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1
       • FUNCIÓN POLINOMICA
         • Dentro de esta función tenemos
           • Función lineal f(x)=mx+b
           • Función de segundo grado o cuadrática f(x)=ax²+bx+c
           • Función cubica f(x)=ax^{3}=bx²+cx+d

3. LIMITES

   • El límite L de una función f(x) es el valor al que tiende la función cuando a la variable independiente X se le asignan valor cercanos a un valor dado
     • PROPIEDADES DE LOS LIMITES
       • LIMITE DE UNA SUMA
         • es igual a la suma de los limites de cada una de las funciones lim ?−? [? ? ± ?(?)] =lim ?−? ?(?) ± lim ?−? ?(?)
       • LIMITE DE UN PRODUCTO
         • es igual al producto de los limites de cada una de las funciones lim ?−? [? ? ∗ ?(?)] =lim ?−? ?(?) ∗ lim ?−? ?(?)
       • LIMITE DE UN COCIENTE
         • es igual al cociente de los limites de cada una de las funciones lim ?−? [? ? /?(?)] =lim ?−? ?(?) / lim ?−? ?(?)
       • LIMITE DE UNA FUNCIÓN
         • es igual a la función de limites de la expresión dada lim ?−? ?[? ? ]
   • TIPOS
     • INDETERMIDADOS
       • no indican que el límite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado. Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del límite
     • INFINITOS
       • Un límite es infinito cuándo la función crece o decrece infinitamente para un punto de la función.

4. CONTINUIDAD

   • Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
     • se dice que es continua en c si se dan las siguientes condiciones
       • Que el punto x= a tenga imagen.
       • Que exista el límite de la función en el punto x = a
       • Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.
   • TIPOS
     • CONTINUIDAD EN UN PUNTO
       • Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
     • CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO
       • es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto
     • CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
       • Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si: f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b

5. DERIVADA

   • La derivada de una función f(x) en un punto x cuando este tiende a cero, es el limite del cociente incremental cuando este incremento tiende a cero.
     • La derivada de un función en n punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto

6. DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES

   • DERIVADA DE UNA CONSTANTE
     • Si c es una constante y tenemos que f(x)=c entonces f´(x)=0
   • DERIVADA DE POTENCIAS
     • Si tenemos una función definida por f(x)=x (n) entones f´(x)=n x xn-1
   • DERIVADA DE UNA FUNCIÓN MULTIPLICADA POR UNA CONSTANTE
     • Sea una fución g definida por g(x)=c x f(x) entonces g´(x)=c x f´(x)
   • DERIVADA DE LA SUMA O RESTA DE 2 O MAS FUNCIONES
     • Sea una función h definida por h(x)=f(x)±g(x) entonces h´(x)=f´(x)±g´(x)

7. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

   • Expresiones que pueden ser algebraicas o transcendentes que se pueden derivar n veces
   • RAZÓN DE CAMBIO
     • La razón de cambio es el resultado de una medida que cambia en función de otra
       • APLICACIONES
         • Su principal uso es la minimización o maximización de funciones
         • En ingenieria para minimizar costos y maximizar ganancias
         • En física para evaluar la máxima velocidad de un cuerpo
         • En geometría para minimizar la cantidad de material para construir un cilindro, etc.

8. APLICACIONES DE LA DERIVADA MÁXIMOS- MÍNIMOS

   • FUNCIONES CRECIENTES
     • Una función f(x) es creciente, cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función.
       • CRITERIO DE LA 1RA DERIVADA
         • Permite determinar cuando hay un minimo o un máximo o un punto de inflexión en una función
       • CRITERIO DE LA 2RA DERIVADA
         • Permite realizar prueba de verificación de los máximos y mínimos
   • FUNCIÓN DECRECIENTE
     • es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente aumenta el valor de la función disminuye.