DERIVADAS E INTEGRALES

Derivadas e Integrales

INTEGRALES

DERIVADAS

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

REGLAS DE DERIVACIÓN

1.Para una constante ''a'':

https://sites.google.com/site/calculoieportafoliodelcursoumg/derivacion-2/reglas-basicas-de-derivacion

https://www.lancelotdigital.com/otras-noticias-de-interes/que-son-las-integrales-matematicas

Si f(x)=a, su derivada es f '(x)=0

Ejemplo:

Si f(x)=16, su derivada es f '(x)=0

2. Para la función identidad f(x)= x.

Si f(x)= x, su derivada es f '(x)= 1

Ejemplo:

Si f(x)= x,su derivada es f '(x) =1

3.Para una constante ''a'' por una variable ''x'':

Si f(x)=ax, su derivada es f '(x)=a

4.Para una varibale ''x'' elevada a una potencia ''n'':

Ejemplo:

Si f(x)= 7x, su derivada es f '(x)= 7

Si f(x)=xⁿ, su derivada es f '(x)= nxⁿˉ¹

Ejemplo:

Si f(x)= x², su derivada es f '(x)= 2x

5.Para una constante ''a'' por una varibale ''x' elevada a una potencia ''n''

6. Para una suma de funciones:

7.La regla de producto.

8. La regla de cociente.

Si f(x)= axⁿ su derivada es f '(x)= anxⁿ̄ˉ¹

Ejemplo:

Si f(x) = 4x², su derivada es f '(x)= 8x

Si f(x) = u(x) +v(x), su derivada es f '(x) = u'(x) + v'(x)

Ejemplo:

Si f(x)= 3x²+4x, su derivada es f '(x) = 6x+4

Esta regla es útil cuando se tiene una funcion formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo: f(x)=(2x³+3)(3x³-5); la regla de producto es :

Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:

La función:f(x) = uv

Su derivada: f '(x) = u'v +uv'

ejemplo:

¿Cuál es la derivada de f(x)= (2x³+3)(3x³-5)?

Solución:

f(x)= (2x³+3)(3x³-5)

f(x)= (6x²)(3x³-5) + (2x³+3)(12x³)

Si es fácil simplificar la expresión,entonces debe simplificarse.

Esta regla es útil cuando se tiene una funcion formada de la división de polinomios, como por ejemplo: f (x)= 2x³+3/3x²-5; la regla de cociente es:

Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:

La función: f(x)= u/v

Su derivada: f '(x)= u'v- uv'/v²

ejemplo:

¿Cuál es la derivada de f(x) = 2x³+3/3x²-5?

Solución:

f(x) = 2x³+3/3x²-5

f '(x)= (6x²)(3x²-5)-(2x³+3)(12x³)/(3x²-5)²

Si es fácil simplificar la expresión,entonces debe simplificarse.

9.Regla de cadena.

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia como por ejemplo: f(x) = (2x³+3)³; la regla de cadena es:

Si ''u'' es el polinomio:

La funcíón: f(x)= uⁿ̄

Su derivada:f '(x) = n(u)ⁿˉ¹(u')̄

ejemplo:¿Cuál es la derivada de f(x) = (2x³+3)³?

Solución:

f(x)=(2x³+3)³

f '(x)=3(2x³+3)²(6x²)

f '(x)=18x²(2x³+3)²

¿Cómo expresar la operación?

Notación

Definición

La s curva y alargada "∫" denotan la anti-derivación. El símbolo se llama símbolo de la integral.

Después del símbolo "∫" se pone entre paréntesis la función que desea evaluarse seguida por la especificación de la variable con respecto a la cual se va a anti-derivar

Ejemplo: F'(x) = 6x^2 Entonces la integral se expresaría de la siguiente manera: ∫(6x^2) dx

El cálculo integral es la operación inversa a la derivación, razón por la cual también puede ser llamada "anti-derivación". Esto consiste en pasar una expresión ya derivada a su forma sin derivar

Ejemplo: Si derivamos la siguiente función F(x) = (3x^2) dx = 6x Partiendo de la derivada dx=6x para llegar a la función original se usa la integración o anti-derivación entonces: ∫(6x)dx = (3x^2) + K

Metodos

Directa

Mediante manipulación aritmética

identidades trigonométricas

Sustitución

Los casos en los que se encuentran expresiones simples de integrar se hacen de manera directa por medio de fórmula

Ejemplo: ∫(4x^3)dx = x^4

se puedan usar trucos aritméticos para simplificar el proceso de integración, se realizan los procesos algebraicos necesarios para facilitar el desarrollo del ejercicio.

Ejemplo: ∫(3x + 3)^2 dx = ∫((9x^2) + 12x + 9)dx = (3x^3) + 6x^2 + 9x

En este caso se resolvió el binomio cuadrado para dejar la expresión en términos de suma y simplificar el proceso de integración

Identidades:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Ejemplo:

∫(sinx/cscx + cosx/secx) dx =

∫(sinx / (1/sinx) + cosx / (1/cosx))dx=

∫(sin^2(x) + cos^2(x)) dx =

∫1 dx = x+k

consiste en coger una parte de la función y darle nombre "u" para simplificar la expresión, resolverla, y volver a reemplazar por el valor original una vez llegada a una respuesta.

Ejemplo:

∫(sinx cosx)dx =

u=sinx ; sustituir

du=cosx dx

∫(u)du = (u^2)/2 + k ; Reemplazar variable

∫(sinx cosx)dx = sin^2(x) / 2 + k

Propiedades

Suma

Constantes que acompañan la función

Cuando se encuentra una suma dentro de la función a integrar, se saca la integral independiente de cada una y se suman

Ejemplo:

∫(2x^3 + 3x^2 + 5)dx =

∫(2x^3)dx + ∫(3x^2)dx + ∫5 dx =

(x^4)/2 + x^3 + 5x + k

Cuando una constante multiplica la función a integrar, esta puede salir de la integración y multiplicar al resultado de esta

Ejemplo:

∫(4x^4)dx = 4∫(x^4)dx =

4*(x^5 / 5) + k

∫x^n = (x^(n+1) / (n+1)) + k