Funciones (Tipos, límites y continuidad)

Funciones (Tipos, límites y continuidad)

1. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de laprimera le asigna un único valor de la segunda.Si A y B son dos conjuntos, que llamaremos conjunto inicial y conjunto final,respectivamente, una función, f, de A en B, f: A →B,relaciona cada elemento de A con unúnico elemento de B. Si a∈A está relacionado con b∈ B se escribe f(a) = b y se dice queb es la imagen de a y que a es la antiimaxe de b.

   • Se llama dominio de una función f, y se representa por Dom(f), al conjunto formado porlos elementos de A que tienen imagen:Dom(f) = {x∈A / f(x) ∈B}Un elemento cualquiera del conjunto Dom(f) se representa por la letra x y se denominavariable independiente. Cada elemento x de Dom(f) tiene por imagen, mediante lafunción f, un elemento de B que se representa por y, que es la variable dependiente. Estose expresa escribiendo y = f(x).
     • Se llama recorrido o imagen de una función, se representa por Im f, al conjuntoformado por las imágenes de los elementos del dominioIm f ={f(x) / x∈Dom(f)}
       • Si en una función el conjunto inicial y conjunto final están formados por números reales,entonces se dice que es una función real de variable real, f: R→R, f: D⊂R→Rx→y=f(x)
         • La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso sucomportamiento. El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la funciónrecibe el nombre de grafo o gráfica de la función. Para obtener los pares basta con darvalores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variabledependiente y, formando así una tabla de valores de la función. Una vez obtenidos lospares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dosejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, yrepresentado por O ; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él serepresentan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre deeje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada parde números corresponde la un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene lagráfica de la función.

2. Funciones elementales1. Funciones polinómicas: Tienen por expresión algebraica un polinomio, es decir:f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0El dominio de cualquier función polinómica siempre es R, Dom(f) = RDentro de las función polinómicas tienen especial importancia las funciones lineais y lasfunciones cuadráticas

   • unción lineal: Tiene por expresión y = f(x) = mx + n, (en sentido estrico, cuando n≠0, se llamaría función afín)•Su gráfica es una recta, que por el origen si n es 0•m es la pendiente de la recta, tangente del ángulo que forma la recta con la partepositiva del eje de abscisas•n es la ordenada en el origen, es el punto donde la gráfica corta al eje deordenadas•Se m = 0, se reduce a y = n, se trata de una función constante cuya gráfica es unarecta horizontal•Dos rectas que sean paralelas tienen la misma pendiente•Se dos rectas son perpendiculares, sus pendientes verifican que m1 = -1/m2•Las rectas verticales, paralelas al eje de ordenadas, tienen por ecuación x = a, y noson funciones
     • Función cuadrática: Tiene por expresión un polinomio de segundo grado, y = f(x) = ax2 + bx + c•Su gráfica es una parábola con eje de simetría paralelo al eje OY•Si a>0,la parábola es convexa (“abre hacia arriba”) y si a<0 la parábola es cóncava(“abre hacia abajo”)•Corta al eje OX en las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0•Corta al eje OY en el punto (0,c)•Vértice será el punto V(Vx, Vy), con Vx = -b/2a ,y para calcular Vy se sustitue Vx en laexpresión de la función •Eje de simetría es la recta x = -b/2a
       • Funciones racionales: Su expresión alxébrica es el cociente de dos polinomiosy = f(x) = )()(xQxPEl dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto losque anulan el denominador: Dom(f) = R – {x / Q(x) = 0}
         • Funciones irracionais: La expresión es y = f(x) = nxg)(El dominio será:Dom(f) = R en caso de que n sea imparDom(f) = R – {x / g(x) < 0} en caso de que n sea par
           • Función expoñencial: La expresión es y = f(x) = a x, donde a es positivo y distinto de 1•Dom(f) = R•Im(f) = R+, (las imágenes son siempre positivas)•Se a >1 la función crece la medida que aumenta x•Se a <1 la función decrece la medida que aumenta x
             • Función logarítmica:La expresión es y = f(x) = loga x, donde a es positivo y ≠ 1•Dom(f) = (0, +∞) , (el logaritmo de los negativos y del 0 no son números reales)•Im(f) = R•Se a 1 >es creciente•Si la 1<es decrecente•Corta al eje OX en el punto (1,0)•La función logarítmica de base a es la función inversa de la expoñencial de base a
               • Funciones trigonométricasFunción seno: y = f(x) = sen x Función coseno: y = f(x) = cos xFunción tangente: y = f(x) = tg xEl dominio de las funciones seno y coseno es REl dominio de la función tangente es R – {Zkk∈±,2ππ}

3. El concepto de límite de una función en un punto es uno de los más importantes enmatemáticas, sirve para responder a la pregunta: A que valor se aproxima la variabledependiente cuando la variable independiente se aproxima a un cierto valor a?. Como porejemplo:Consideramos la función y = f(x) = 2x + 1, queremos saber a que valor se aproxima lavariable y cuando la variable x se aproxima a 3. Si hacemos unas tablas de valorestenemos:

   • De la primera tabla, deducimos que cuándo nos aproximamos a 3 por la izquierda lafunción toma valores próximos a 7, esto quiere decir que el límite lateral por la izquierdade la función f en el punto 3 es 7, y se escribe:7)(lim3=−→xfxDe la segunda tabla, deducimos que cuándo nos aproximamos a 3 por la derecha lafunción toma valores próximos a 7, esto quiere decir que el límite lateral por la derecha dela función f en el punto 3 es 7, y se escribe:7)(lim3=+→xfxPor lo tanto, podemos decir que cuándo nos aproximamos a 3 la función toma valorespróximos a 7, es decir, el límite de la función en el punto x = 3 es 77)(lim3=→x
     • La expresión bxfax=→)(lim, que se lee el límite de f(x) cuando x tiende a a es b, quieredecir que si x toma valores próximos al número a entonces los correspondientesvalores de f(x) se aproximan al número b.
       • CONTINUIDADLa idea de que una función es continua en un punto x = a cuando se pode dibujar sinlevantar el lápiz del papel al pasar por ese punto, o cuando es una función que nopresenta saltos ni agujeros en ese punto, son aproximaciones intuitivas al concepto decontinuidad
         • Una función f es continua en un punto x = la de su dominio si )a(f)x(flimax=→La definición implica que se tiene que cumplir que:- Existe límite de la función en el punto x = a - La función está definida en x = a, existe f(a)- Ambos valores son iguales
           • Cuando solo exista o coincida el límite por la derecha, diremos que es continua por laderecha. Analogamente para la izquierda.Una función es continua en el intervalo (a, b) cuando lo es en cada uno de sus puntos yes continua en el intervalo [a, b] cuando lo es en (a, b) y además es continua por laderecha en x = a y continua por la izquierda en x = b
             • FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS.
               • GRUPO CONFORMADO POR : MARIA HERNANDEZ. DALERMAN CANDELARIO. ALBERTO BASTIDAS. JAVIER MONTERO. CARLOS LOPEZ. SALOMON VERA
                 • INGENIERO MARLON PAZOS

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