ESPACIO VECTORIAL

ESPACIO VECTORIAL

1. ¿Que es un espacio vectorial?

   • Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacio , una operación interna.
     • Ejemplo. Para cualquiera de los vectores u y v en V ⨁U v V La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
     • Para cualquiera de los vectores u y v en V U ⨁ v = ⨁u El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma
     • Para calcular tres vectores u, v y w en V: U ⨁ ( v⨁w) = ) ⨁w (3)

2. Propiedades

   • Toda función no nula de un espacio vectorial constituye un conjunto LI.
   • La función nula de cualquier espacio vectorial constituye un conjunto LD
   • Todo conjunto al que pertenezca la función nula es LD
   • Un conjunto finito u no vacío de vectores es LD si y solo si alguna función es combinación lineal de los demás

3. Definición de Espacio Vectorial A.1. x + y = y + x                                   (conmutativa) A.2. (x + y)+z = x+ (y + z)                         (asociativa) A.3. x + 0 = 0 + x = x                                 (el. neutro) A.4. x + (-x) = (-x) + x = 0                        (el. opuesto) A.5. a(x + y) = ax + ay                             (distributiva) A.6. (a + b)x = ax + bx                             (distributiva) A.7. a(bx) = (ab)x A.8. 1x = x

4. Productos Nulos

   • Reglas de productos nulos: • 0v = 0 • a0 = 0 • Si av = 0, entonces a=0, ó v = 0
   • Reglas de simplificación: •Si au = bu y u ¹ 0, entonces a=b •Si au = av y a ¹ 0, entonces u = v

5. Reglas de los signos: •(-a)v = a(-v) = -(av) • (-a)(-v) = av