Resolución de problemas

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1. (Tasas relacionadas – geometría) Un círculo (como una mancha de pintura)

aumenta su radio a razón de dr/dt = 0.4 cm/s. ¿A qué razón aumenta el área

cuando r = 5 cm?1. (Tasas relacionadas – geometría) Un círculo (como una mancha de pintura)

aumenta su radio a razón de dr/dt = 0.4 cm/s. ¿A qué razón aumenta el área

cuando r = 5 cm? 4π cm²/s

1) A = πr² dA/dt = 2πr(dr/dt) Sustituyendo: dA/dt = 2π(5)(0.4) dA/dt = 2π(2) dA/dt = 4π cm²/s

2. (Tasas relacionadas – consumo de agua) Una cubeta tiene forma cilíndrica con

radio 15 cm. Se llena con agua a 900 cm³/s. ¿Qué tan rápido sube el nivel del

agua (dh/dt)?2. (Tasas relacionadas – consumo de agua) Una cubeta tiene forma cilíndrica con

radio 15 cm. Se llena con agua a 900 cm³/s. ¿Qué tan rápido sube el nivel del

agua (dh/dt)? 4/π cm/s

2) V = πr²h dV/dt = πr²(dh/dt) Sustituyendo: 900 = π(15)²(dh/dt) 900 = π(225)(dh/dt) 900 = 225π(dh/dt) dh/dt = 900 / (225π) dh/dt = 4/π cm/s

3. (Optimización – economía) Una papelería vende libretas. Si el precio es p

pesos, vende q(p)=300−3p libretas al mes. Encuentra el precio que maximiza el

ingreso mensual. Precio que maximiza: 50 pesos

3) q(p) = 300 - 3p Ingreso: I(p) = p·q(p) I(p) = p(300 - 3p) I(p) = 300p - 3p² Derivada: I'(p) = 300 - 6p Igualamos a 0: 300 - 6p = 0 6p = 300 p = 50

4. (Optimización – física) Una caja se construye con cartón cuadrado de 30 cm por

lado, cortando cuadrados de lado x en las esquinas y doblando. Expresa el

volumen V(x) y encuentra el x que maximiza el volumen (aproxima a una

décima).4. (Optimización – física) Una caja se construye con cartón cuadrado de 30 cm por

lado, cortando cuadrados de lado x en las esquinas y doblando. Expresa el

volumen V(x) y encuentra el x que maximiza el volumen (aproxima a una

décima).

4) V(x) = x(30 - 2x)² Expandimos: V(x) = x(900 - 120x + 4x²) V(x) = 900x - 120x² + 4x³ Derivada: V'(x) = 900 - 240x + 12x² Igualamos a 0: 900 - 240x + 12x² = 0 Dividimos entre 12: 75 - 20x + x² = 0 Ordenamos: x² - 20x + 75 = 0 Fórmula general: x = (20 ± √(400 - 300)) / 2 x = (20 ± √100) / 2 x = (20 ± 10) / 2 x = 5 ó x = 15 Tomamos: x = 5 cm