FUNCIONES

FUNCIONES

1. Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: f: A B x f(x) = y

2. CONCEPTOS

   • Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.
   • Rango : es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (Y), y se denota Ran f.
   • Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.
   • Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

3. CLASIFICACIÓN

   • a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.
   • b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.
   • c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.

4. . FUNCIÓN LINEAL

   • Es de la forma f(x) = mx + n con m : Pendiente n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición). Ejemplo: La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.
   • Análisis de la Pendiente Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente. • Si m < 0, entonces la función es decreciente. • Si m = 0, entonces la función es constante. • Si m > 0, entonces la función es creciente.
   • TIPOS DE FUNCIONES ESPECIALES
     • a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:
     • b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:
   • Propiedades:
     • El dominio de la función lineal son todos los números IR
     • Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.
     • Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.
   • Evaluación de una función lineal:
     • Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.
       • Ejemplo: La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 3km: f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos f(x): costo en pesos 3 km = 3000 m Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es: f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650 Por 3 kilómetros se pagan $2650. Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación: 2250 = 0.8x + 250 / -250 2000 = 0.8x / :0.8 2500 = x Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

5. FUNCIÓN CUADRÁTICA

   • Son de la forma:  Gráfica: Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c. f(x) = ax² + bx + c
   • Concavidad: El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo
   • Eje de simetría y vértice: El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola. El vértice está dado por: Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a
   • Tipos de soluciones
     • Dependen del valor del Discriminante D = b² - 4ac
     • a) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales (x1 = y1)
     • Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x2)
     • Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x2)

6. FUNCIÓN PARTE ENTERA

   • Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta se escribe: f(x) = [x]
   • Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir: [x] ≤ x < [x+1]

7. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

   • El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un número real no negativo que se define: f(x) = |x| = x si x ≥ 0 -x si x < 0
   • Propiedades
     • a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0
     • b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a
     • c. |xy| = |x| · |y|
     • d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)