Determinanten

Determinanten

1. Laplace'scher Entwicklungssatz

2. Eigenschaften

   • Determinante von A entspricht der von A transponiert
   • Die Determinante von A invertiert entspricht der Determinante von 1/A
   • det A * B = det A * det B
   • det(Lambda * A) = Lamda^n * det A
   • Determinante ist 0, wenn kein Vollrang
   • nur bei quadratischen Matritzen möglich
   • Eigenschaften bei EZU
     • Faktor an Spalte
       • Faktor an Determinante
     • Vertauscht man zwei Spalten
       • Vorzeichen ändert sich
     • Addieren des Lambda Fachen
       • Keine Änderung

3. Regel von Saurrus

4. linear group

   • special
     • det(A) == 1
   • general
     • det(A) != 0
     • Ist Gruppe mit Matrixmultiplikation

5. Dreiecksmatrix

   • Produkt der Diagonaleinträge ergeben die Determinante

6. Unterdeterminante

   • Ensteht durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte

7. Adjunkte

8. Geometrische Interpretation

   • Flächeninhalt eines Parallelogramms durch v1 und v2 entspricht |det(v1, v2)|
     • Überprüfung möglich durch betrachten von
       • v1, v2 sind Standardbasis - Ein Quadrat mit Flächeninhalt 1
       • Linear abhängige Vektoren
         • Flächeninhalten 0
       • Parallelogramm

9. Cramersche Regel

   • Bedingungen
     • a1, ..., an sind Spalten von A
     • Invertierbar
     • b ist in K^n
   • Lösung des LGS

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