Funciones

Funciones

1. Conceptos basicos de funciones

   • Función: relación entre conjuntos.
     • Se denota como: f : A → B
       • Dominio: valores posibles de la variable independiente. Imagen: valor obtenido en el codominio. Rango: conjunto de todas las imágenes posibles de la función.

2. Modelado de funciones

   • Un modelo matemático es una forma de describir matemáticamente un fenómeno real con el objetivo de entenderlo mejor, y a veces se puede simplificar al expresar todas las variables en términos de una sola.
     • Proceso
       • Leer claramente el problema e identificar la función buscada
       • Dibujo que muestre las características por modelar
       • Datos del problema y establecer las fórmulas que son conocidas
       • Expresar todas las variables en términos de la variable pedida a través de un manejo algebraico
       • Expresar el comportamiento de la función en términos de la variable pedida
     • Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.

3. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

   • Función inyectiva: cada elemento del dominio se corresponde con un único elemento del codominio.
     • Función vs relación: sólo las correspondencias que cumplan las condiciones definidas son funciones, las demás son relaciones.
   • Función biyectiva: cada elemento del dominio tiene una única correspondencia en el codominio y viceversa.

4. Tipos de funciones

   • Función constante
     • Si toma el valor K, f (x) = k
   • Función identidad
     • La función es f(x) = x, lo que significa que la variable dependiente es igual a la variable independiente.
   • Funciones algebraicas
     • Funciones polinómicas: combinaciones de funciones constantes e identidad con dominio en todos los números reales.
   • Funciones polinómicas
   • Funciones lineales
     • Funcion polinomica de la forma f (x) = mx + b
   • Funciones cuadráticas
     • Funcion polinomica de la forma f (x) = ax"2" + bx + c
   • Funciones racionales
     • cociente de dos funciones polinómicas (f(x) y g(x)) para todo x en el dominio.
   • Funciones de proporcionalidad inversa
     • relaciona las variables x y y a través de expresiones del tipo Y = K/X
   • Funciones irracionales
     • incluyen la operación de radicación y su dominio depende de las raíces y ceros del denominador.
   • Funciones trascendentes
     • Funciones no algebraicas: no son polinómicas ni racionales e incluyen funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
   • Funciones periódicas
     • Es periodica si cumple que f (x) = f (x + p)
   • Funciones par e impar
     • Par si se cumple f (x) = f (− x)
     • Impar si f (− x) = − f (x)

5. Algebra de funciones

   • Suma se define como ( f + g)(x) = f (x)+ g(x) y su dominio es
   • Resta se define como ( f − g)(x) = f (x)− g(x) y su dominio es
   • Producto se define como ( f ⋅ g)(x) = f (x)⋅ g(x) y su dominio es
   • El cociente se define como (F/G)(X) = F(X)/G(X) y su dominio es
     • siempre que g(x) ≠ 0.
   • La composicion se define como ( f o g)(x) = f (g(x)) y su dominio es el conjunto de todos los valores de x en el dominio de g tales que g(x) esté en el dominio de f

6. Funciones explicitas o implicitas

   • Una función está expresada en forma explícita si una de las variables está despejada.
     • No hay una regla fija para convertir funciones implícitas en explícitas, se deben usar recursos matemáticos para despejar la variable dependiente.
       • Ejemplo 9xy − 2x − 3y −16 = 0

7. Funciones en forma parametrica

   • Cuando una variable t actúa como parámetro, dos funciones con el mismo dominio, x = f(t) e y = f(t), se llaman un conjunto de ecuaciones paramétricas.
     • Las coordenadas (x, y) de un punto de una curva pueden ser funciones del parámetro, ya que para cada valor que tome t se tendrá un punto P

8. Representacion grafica de funciones

   • Es un conjunto de puntos en un plano cartesiano que representan parejas ordenadas (x, y) que satisfacen la ecuación de la función.
     • • Fuente: Fundamentos de matematicas 2005

9. Funciones definidas por intervalos

   • Una función puede tener diferentes comportamientos en intervalos distintos, y su dominio es la unión de esos intervalos.
     • • La función es lineal hasta 1 y es constante en 5 desde un valor mayor de 1
         • • Fuente: Funciones , proporcionado por la universidad

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